Der Kreis: Gleichung, Gerade und Kreis, Tangente
Stelle die Gleichung eines Kreises auf und lies sie ab, bestimme die gemeinsamen Punkte von Gerade und Kreis und rechne mit der Tangente und ihrer Länge.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 11
- Portugal: Klasse 9
- Italien: Klasse 9
- Spanien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 10
- Russland: Klasse 9
- Ukraine: Klasse 9
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 10
- Syrien: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan wird die Kreisgleichung nur am Rande behandelt, etwa im Zusammenhang mit der Kugel in der analytischen Geometrie der Oberstufe (Jahrgangsstufe 12). Die Aufgaben hier sind deshalb eine Vertiefung.
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) den festen Abstand r (den Radius) haben. Mit dem Mittelpunkt M(xM|yM) lautet die Kreisgleichung (x − xM)2 + (y − yM)2 = r2. Die Vorzeichen von x_M und y_M erscheinen in der Gleichung umgekehrt: Der Mittelpunkt (3 | −2) ergibt (x − 3)2 + (y + 2)2.
Die allgemeine Form x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 hat den Mittelpunkt (−g|−f) und den Radius r = √(g2 + f2 − c); man erhält sie durch quadratische Ergänzung. Um die gemeinsamen Punkte von Gerade und Kreis zu finden, setzt man y der Geraden in die Kreisgleichung ein und löst die quadratische Gleichung: zwei Lösungen, zwei Schnittpunkte; eine Lösung, Tangente; keine Lösung, die Gerade verfehlt den Kreis (Passante).
Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht auf dem Radius. Die Länge der Tangente von einem äußeren Punkt P zum Berührpunkt ist √(MP2 − r2), denn das Dreieck MPT hat bei T einen rechten Winkel (Satz des Pythagoras).