Rolle, l'Hospital und Maclaurin-Reihe
Finde, wo die Tangente waagrecht ist, bestimme die Stelle des Mittelwertsatzes, berechne einen 0-durch-0-Grenzwert mit Ableitungen und finde einen Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von cosh x.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Portugal: Klasse 12
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- Großbritannien: Year 13
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- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor: Der Satz von Rolle, der Mittelwertsatz, die Regel von l'Hospital und Reihen gehören zur Analysis im Studium. Die Aufgaben sind eine Vertiefung für Neugierige.
Satz von Rolle: Ist f stetig und differenzierbar und gilt f(a) = f(b), dann gibt es zwischen a und b eine Stelle c mit f′(c) = 0: eine waagrechte Tangente. Mittelwertsatz: Auch wenn die Randwerte verschieden sind, hat die Tangente irgendwo dieselbe Steigung wie die Sekante: f′(c) = f(b) − f(a)b − a.
Regel von l'Hospital: Gehen Zähler und Nenner beide gegen null, ist der Grenzwert von fxg(x) gleich dem Grenzwert von f′xg′(x). Zähler und Nenner werden getrennt abgeleitet, nicht der ganze Bruch.
cosh(x) = (ex + e−x) : 2 und sinh(x) = (ex − e−x) : 2 sind Hyperbelfunktionen. Die Ableitung von cosh(x) ist sinh(x) und umgekehrt. Der Koeffizient von xn in der Maclaurin-Reihe ist fn(0) : n!.