Implizite, parametrische und zweite Ableitung, gekoppelte Änderungsraten
Bestimme die Steigung eines Kreises an einem Punkt durch implizites Differenzieren, die Steigung einer Parameterkurve, eine zweite Ableitung und die Änderung einer Fläche bei wachsender Seitenlänge.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 11
- Frankreich: Klasse 12
- Portugal: Klasse 11
- Italien: Klasse 13
- Spanien: Klasse 12
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 10
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 12
- Syrien: Klasse 12
- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommen implizites Differenzieren, Parameterkurven und gekoppelte Änderungsraten nicht vor; sie sind hier eine Vertiefung. Nur die zweite Ableitung gehört zum Stoff der Klasse 11 (Krümmung, Wendestellen). Ist y mit x durch eine Gleichung verbunden, aber nicht freigestellt, leitest du beide Seiten nach x ab und setzt überall dort den Faktor y′ dazu, wo y vorkommt (Kettenregel): (y2)′ = 2y·y′.
Für eine Parameterkurve x(t), y(t) gilt dydx = dydtdxdt. Die zweite Ableitung ist die Ableitung der Ableitung; sie zeigt, wie sich die Steigung selbst ändert: Ist f″ > 0, ist der Graph linksgekrümmt.
Sind zwei Größen gekoppelt, sind es auch ihre Änderungsraten: Aus A = x2 folgt dAdt = 2x·dxdt.