Übersicht
Alle Studios, vom leichtesten zum schwersten.
Zahlen und Stellenwerte
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- Zählen und Vergleichen bis 10Ordne Äpfel eins zu eins zu, zähle sie und vergleiche. Dann lernst du die Zeichen <, > und =.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zahlen bis 20: ein Zehner und einige EinerLies und lege die Zahlen von 10 bis 20 mit zwei Zehnerfeldern. Dazu: eins mehr, die Zahl dazwischen und erster, zweiter, dritter.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zahlenstrahl, in Schritten zählen, gerade und ungerade ZahlenFinde Zahlen am Zahlenstrahl, zähle in Zweier-, Fünfer- und Zehnerschritten und entdecke gerade und ungerade Zahlen.Spielen und lernen mit dem Wiedehopf
- Zehner und Einer: Zahlen bis 100Bündle zehn Einer zu einem Zehner. Lege und lies Zahlen bis 100 mit Zehnern und Einern.
- Hunderter und Tausender: Stellenwerte und StufenschriftLege Zahlen bis 10 000 mit Stellenwertplättchen, lies und schreibe sie, zerlege sie in Stufenschrift, vergleiche sie von der höchsten Stelle aus und lerne römische Zahlen kennen.
- Große Zahlen, Runden und ÜberschlagenLies und lege Zahlen bis in die Millionen in Dreiergruppen, runde auf Zehner, Hunderter oder Tausender und überschlage eine Summe, bevor du sie genau ausrechnest.
- Überschlagen und Runden auf Zehner und HunderterZahlen auf den nächsten Zehner oder Hunderter runden und Summen und Differenzen überschlagen, ohne genau zu rechnen.
- Negative Zahlen und ganze ZahlenVerlängere die Zahlengerade nach links über die Null hinaus. Stelle Temperaturen unter null, Schulden und Tiefen dar, finde Gegenzahlen und rechne mit Pfeilen.
- Dezimalzahlen rundenZoome zwischen die beiden Nachbarn einer Zahl und sieh, welcher näher liegt: Runden auf Ganze, auf Zehntel und auf Hundertstel. Finde dann alle Zahlen, die auf denselben Wert gerundet werden.
- Teiler, Vielfache und PrimzahlenLege Plättchen zu Rechtecken und finde so die Teiler einer Zahl. Entdecke, warum manche Zahlen nur ein Rechteck ergeben.
- Teilbarkeit, ggT, kgV und PotenzenFärbe Vielfache in der Hundertertafel und entdecke die Teilbarkeitsregeln. Danach folgen gemeinsame Vielfache und Teiler, Quadratzahlen und Potenzen.
- Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren, BetragMultipliziere und dividiere negative Zahlen mit Schritten an der Zahlengerade, finde das Muster hinter den Vorzeichen und bestimme den Abstand von null.
- Rationale Zahlen: Ordnen und die vier RechenartenLege negative Brüche und Dezimalzahlen auf eine Zahlengerade, vergleiche sie und addiere und multipliziere sie als Verschiebung und als Streckung.
- Das Sieb des Eratosthenes für PrimzahlenSchreibe die Zahlen von 1 bis 50 auf und streiche Vielfache, bis nur noch die Primzahlen übrig sind, und finde heraus, wo man aufhören darf.
- Subtraktion einer negativen ZahlSchreibe jede Subtraktion als Addition der Gegenzahl, sieh die Subtraktion einer negativen Zahl an der Zahlengerade und rechne zweistellige Zahlen getrennt nach Zehnern und Einern.
- Potenzen, Vorzeichen und WachstumRechne Terme mit Potenzen in der richtigen Reihenfolge, unterscheide (–3)² und –3², lerne Quadratzahlen bis 400 und sieh, warum wiederholtes Verdoppeln so schnell groß wird.
- Primfaktoren, ggT und kgV, WurzelnZerlege Zahlen mit Faktorbäumen in Primfaktoren, bestimme ggT und kgV aus den Primfaktoren und finde Quadrat- und Kubikwurzeln, indem du die Primfaktoren paarweise oder zu dritt zusammenfasst.
- Potenzgesetze, Exponent null und negative ExponentenSchreibe Potenzen als Faktoren an einen Bruchstrich: Multiplizieren heißt, die Faktoren zusammenzuschreiben, Dividieren heißt, gleiche Faktoren oben und unten zu kürzen. Sieh, warum a⁰ = 1 ist und warum ein negativer Exponent einen Bruch bedeutet.
- Rationale Zahlen dividierenFinde den Kehrwert einer rationalen Zahl und verwandle Divisionen mit Vorzeichen in Multiplikationen. Erkenne, warum eine Division durch null keinen Sinn ergibt.
- n-te Wurzeln und Potenzen mit rationalen Exponentenn-te Wurzeln über Potenzen verstehen: gerade und ungerade Wurzelexponenten, Wurzeln multiplizieren, dann Potenzen wie 2713 und 823.
- Zehnerpotenzschreibweise (wissenschaftliche Schreibweise)Verschiebe die Ziffern mit : 10 und · 10, bis genau eine Ziffer ungleich null vor dem Komma steht, und beobachte, wie die Zehnerpotenz die Verschiebungen zählt.
- Wurzeln abschätzen und irrationale Zahlen auf dem ZahlenstrahlSchließe eine Quadratwurzel zwischen ganzen Zahlen ein, grenze sie auf Zehntel und Hundertstel ein, indem du quadrierst, und ordne rationale und irrationale Zahlen auf der Zahlengeraden ein.
- Wurzelterme und teilweises RadizierenZerlege den Radikanden in Primfaktoren und ziehe jedes Paar vor die Wurzel: √12 = 2√3. Multipliziere Wurzeln, addiere gleichartige Wurzeln und mache zum Schluss, für Neugierige, den Nenner rational.
- Das euklidische Verfahren für den ggTBestimme den ggT zweier Zahlen mit einer Kette von Divisionen, ohne Teiler aufzuschreiben.
- Der Betrag reeller Zahlen und NäherungsrechnungSieh den Betrag als Abstand vom Nullpunkt, lerne die drei Fälle kennen, vergleiche |a + b| mit |a| + |b| und rechne mit genäherten Wurzeln.
- Wurzelgesetze, Potenzen mit rationalen Exponenten und WurzelgleichungenBestimme die Wurzel eines Quotienten und die Wurzel einer Wurzel, vergleiche Wurzeln verschiedener Grade und löse eine Wurzelgleichung durch Quadrieren, Probe und Substitution. Die Quadratwurzel aus Klasse 9 steht in einem anderen Studio.
- Zahlwörter: Zehntausender, Hunderttausender und MilliardenLege und lies große Zahlen: fünfstellige Zahlen, hunderttausend und Zahlen über die Million hinaus. Frage dich, ob es eine größte Zahl gibt.
- Wurzeln: Quadratwurzel, dritte Wurzel und ihre VorzeichenZählen, wie viele Zahlen ein positives Quadrat haben, verstehen, warum eine negative Zahl keine Quadratwurzel, aber eine dritte Wurzel hat, und warum die Wurzel aus einem Quadrat der Betrag ist.
- Runden am ZahlenstrahlFinde die Zahl am Zahlenstrahl und sieh, welchem Zehner, Hunderter oder Tausender sie am nächsten liegt. Eine Zahl genau in der Mitte wird aufgerundet.
- Zahlwörter: Zahlen sprechen und schreibenLege zwei- und dreistellige Zahlen aus Hundertern, Zehnern und Einern und lies und schreibe sie als Zahlwort.
- Teilbarkeit in den ganzen ZahlenDivision mit Rest, Eigenschaften der Teilbarkeit und der ggT zweier Zahlen als Vielfachsumme der beiden Zahlen.
- Hundertertafel und Zählen in SchrittenZähle in Dreier-, Vierer-, Sechser- und Siebenerschritten auf der Zahlentafel und sieh die wiederholte Addition mit Streifen.
- Kongruenz modulo m: Rechnen mit RestenZahlen, die bei der Division durch m denselben Rest lassen, sind kongruent modulo m. Lerne, mit diesen Resten zu rechnen.
- Stellenwerte bei DezimalzahlenSchreibe und lies Dezimalzahlen in einer Stellenwerttafel mit den Spalten Einer, Zehntel und Hundertstel, baue sie in der Summenschreibweise auf und vergleiche sie.
- Näherungswerte: runden und abschneidenEine Zahl auf Zehner, Hunderter, Einer oder Zehntel nähern, auf zwei Arten (runden und abschneiden), erkennen, welcher Wert gerundet ist, einen Bruch nähern und ein Produkt überschlagen.
- Näherungswerte und FehlerAbsoluten und relativen Fehler bestimmen, die Genauigkeit von Messungen vergleichen und den Fehler einer Summe abschätzen.
- Zerlegung von 6 bis 10 und die NullZerlege die Zahlen 6, 7, 8, 9 mit Plättchen in zwei Teile. Finde dann heraus, was passiert, wenn man alles oder nichts wegnimmt.
- Zerlegungskarte und StreifenSchreibe die zwei Teile, aus denen 6 besteht, und baue einen Streifen aus 7 Feldern.
- Eigenschaften der QuadratwurzelWurzeln aus Quadraten, Produkten, Quotienten und Potenzen mit den Rechenregeln für Quadratwurzeln bestimmen; die n-ten Wurzeln folgen in einem eigenen Studio.
- Natürliche Zahlen und ZahlenstrahlFinde den Vorgänger einer Zahl, erkenne, dass es keine größte natürliche Zahl gibt, markiere eine Zahl am Zahlenstrahl und lies eine Skala ab.
- Division mit Rest, Teilbarkeit durch 9 und 3Finde heraus, warum der Rest kleiner als der Divisor ist, bestimme den Dividenden mit Dividend = Divisor · Quotient + Rest und prüfe die Teilbarkeit durch 9 und 3 mit der Quersumme.
- Verschachtelte Wurzeln: √(a ± 2√b)Eine Wurzel unter einer Wurzel beseitigen: Schreibe den Term als Quadrat einer Summe oder Differenz und finde die Zahlen aus ihrer Summe und ihrem Produkt.
- Große Zahlen vergleichen und ordnenVergleiche Zahlen bis in die Millionen Stelle für Stelle, ordne sie der Größe nach und addiere volle Tausender.
- Dualzahlen und römische ZahlenDualzahlen mit den Stellenwerten 1, 2, 4, 8, 16 lesen und schreiben und römische Zahlen mit unserem Stellenwertsystem vergleichen.
- Heron-Verfahren und irrationale ZahlenBerechne eine Wurzel näherungsweise mit dem Heron-Verfahren (ein Rechteck wird zum Quadrat) und beweise indirekt, dass √2 kein Bruch ist.
Rechnen
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- Plus und Minus im Zahlenraum bis 10Lege Äpfel zusammen, nimm welche weg und vergleiche. Zerlege dann die Zahl 10 in zwei Teile.
- Rechnen im Zwanzigerraum: über die Zehn und AufgabenfamilienZuerst die Zehn füllen, dann den Rest dazulegen. Drei Zahlen addieren, Zahlen tauschen und die vier Aufgaben einer Familie finden.
- Rechnen in Schritten am RechenstrichAddition und Subtraktion als Sprünge am Zahlenstrahl zeigen: erst die Zehner, dann die Einer, oder zuerst bis zur nächsten Zehnerzahl.
- Gleiche Gruppen: Multiplizieren und DividierenLege Äpfel in gleich große Gruppen, baue Punktefelder und sieh, wie Multiplikation und Division zusammengehören.
- Das kleine EinmaleinsLerne das kleine Einmaleins mit Bildern und übe es in einem kurzen Spiel: zuerst die Kernaufgaben mit 1, 2, 5 und 10, dann Quadratzahlen und Ableiten, dann die übrigen Reihen bis 10 · 10.
- Malnehmen und Teilen mit 10, 100 und 1000Mal 10 rückt jede Ziffer eine Stelle nach links, geteilt durch 10 eine Stelle nach rechts. Sieh es in der Stellenwerttafel, erst mit ganzen Zahlen, dann mit Dezimalzahlen.
- Schriftliche Addition und SubtraktionZahlen untereinander schreiben und Spalte für Spalte addieren oder subtrahieren: übertragen, entbündeln, Probe machen und große Zahlen und Dezimalzahlen rechnen.
- Schriftliche MultiplikationMultipliziere schriftlich: mit einer einstelligen Zahl und Übertrag, mit einer zweistelligen Zahl und verschobener Zeile und dann mit Kommazahlen.
- Division mit Rest und schriftliche DivisionSchreibe eine Division Ziffer für Ziffer, erkenne, was ein Rest ist und was du in einer Sachaufgabe damit machst, und mache die Probe mit der Multiplikation.
- Extra: Addieren und Subtrahieren am RechenrahmenAddiere und subtrahiere zweistellige Zahlen, indem du Perlen am Abakus schiebst. Tausche zehn Einerperlen gegen eine Zehnerperle und zurück.
- Malnehmen mit Endnullen und Rechnen mit DezimalzahlenMultipliziere Zahlen mit Endnullen (40 · 30, 650 · 300), addiere und subtrahiere Dezimalzahlen in Spalten und multipliziere zwei Dezimalzahlen mit der Kommaregel.
- Schriftliche Multiplikation mit mehrstelligen und runden ZahlenMultipliziere schriftlich mit einer dreistelligen Zahl, mit einer Zahl mit Null und mit einer runden Zahl und addiere die Teilprodukte.
- Malnehmen mit Stellenwertplättchen: in Teile zerlegenZuerst Zehnerzahlen, dann eine mehrstellige Zahl mal eine einstellige Zahl mit Hunderter-, Zehner- und Einerplättchen: Jeden Teil malnehmen und die Teilergebnisse addieren.
- Plus und Minus mit TausendernAddiere und subtrahiere vierstellige Zahlen in der Stellenwerttafel mit Einern, Zehnern, Hundertern und Tausendern. Bündle oder entbündle, wo es nötig ist.
- In Gruppen zählen und Malaufgaben mit SachaufgabenZählen in Siebener- und Zweihunderterschritten, «so viele wie»-Aufgaben, große Packungen und Geschwindigkeit mit einer Malmaschine.
- Bausteine einer Gleichung: Summand, Summe, DifferenzAm Zahlenstrahl in Teilschritten addieren und subtrahieren, die Zahlen einer Gleichung benennen und die Subtraktion über das Ergänzen lösen.
- Gleichungen mit Platzhalter und Änderung der SummeDen unbekannten Summanden, Minuenden und Subtrahenden mit der Umkehraufgabe finden, Terme ohne Rechnen vergleichen und beobachten, wie sich die Summe ändert.
- Zweistellige Zahlen: stellenweise, schrittweise, HilfsaufgabeAddiere und subtrahiere zweistellige Zahlen stellenweise und schrittweise und rechne 38 + 9 über 10, indem du die zu viel addierte 1 wieder abziehst.
- Die Einmaleins-Tafel und wie Ergebnisse von den Zahlen abhängenErkunde die Einmaleins-Tafel, multipliziere und dividiere nacheinander und sieh, wie ein Produkt und ein Quotient von ihren Zahlen abhängen.
- Halbschriftliches Rechnen: stellenweise, mit Hilfsaufgabe, durch ZerlegenAddiere und subtrahiere stellenweise und mit runden Zahlen, teile Zahlen durch Zerlegen und teile Stufenzahlen in Zehnern.
- Geschickt multiplizieren und dividierenMultipliziere und dividiere mit 5, 25, 50, 11, 101, 9 und 99 auf geschickte Weise, mit Rechenvorteilen.
- Rechengesetze und RechenvorteileNutze Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz für Rechenvorteile und vereinfache Terme mit rationalen Zahlen.
- Term, Gleichung, UngleichungUnterscheide Terme, Gleichungen und Ungleichungen, streiche falsche Gleichungen durch und vergleiche Terme, ohne zu rechnen.
- Division mit Rest durch 10 und 100Dividiere mit Rest durch 10 und 100, indem du Ziffern rechts verdeckst, und dividiere Zahlen mit Endnullen, indem du gleich viele Nullen streichst.
- RechenkettenFolge den Pfeilen: Eine Zahl im Kreis, eine Rechenanweisung am Fähnchen. Finde die Zahl am Ende der Kette und ergänze ein verwischtes Fähnchen.
- PlustafelnDie Plustafeln der 1, 2, 5 und 7 lesen, die Ergebnisse verdecken und eintragen. Danach die Summen der zweiten Zehn.
- Subtrahieren mit passenden Summanden: 6, 7, 8, 9 abziehenDen Minuenden als Summe mit passenden Summanden schreiben, von denen einer so groß ist wie der Subtrahend. Dann bleibt der andere Summand übrig.
- Eine Summe addieren und subtrahierenAddiere eine Summe zu einer Zahl, subtrahiere eine Summe von einer Zahl und eine Zahl von einer Summe. Schreibe Gleichungen mit Klammern und nutze Rechenvorteile.
- Halbschriftlich multiplizieren und dividierenZweistellige Zahlen mit einstelligen Zahlen multiplizieren und dividieren, indem man die Zahl in leichte Teile zerlegt, und mit der Umkehraufgabe die Probe machen.
- Rechnungen prüfen: Überschlag und ProbeÜberschlage das Ergebnis vor dem Rechnen, rechne schriftlich, mache die Probe mit der Umkehraufgabe und entscheide, ob ein Ergebnis (auch vom Taschenrechner) sinnvoll ist.
Brüche
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- Was ist ein Bruch?Teile ein Ganzes in gleiche Teile und schreibe als Bruch, wie viele Teile du nimmst.
- Brüche am ZahlengeradeAuch Brüche sind Zahlen, und jede hat ihren eigenen Platz am Zahlenstrahl. Teile die Strecke von 0 bis 1 in gleich große Teile und setze Punkte.
- Gleichwertige Brüche: Erweitern und KürzenDieselbe Menge lässt sich durch verschiedene Brüche beschreiben. Sieh, wie sich der Bruch ändert, wenn die Teile kleiner oder größer werden, die Menge aber gleich bleibt.
- Brüche vergleichenWelcher Bruch ist größer? Lege die Streifen untereinander und sieh, wessen Färbung weiter reicht.
- Brüche addieren und subtrahierenLege Brüche an Streifen nebeneinander, addiere und subtrahiere sie. Bei verschiedenen Nennern machst du die Teile zuerst gleich groß.
- Brüche multiplizieren und dividierenSieh an Streifen, dass das Multiplizieren mit einem Bruch «wie viele Portionen» oder «welcher Bruchteil von» bedeutet und das Dividieren durch einen Bruch «wie oft passt es hinein».
- DezimalbrücheFinde Zehntel und Hundertstel am Zahlenstrahl und sieh, wie Dezimalbrüche geschrieben und gelesen werden.
- Schriftliche Division und BrücheDividiere Ziffer für Ziffer schriftlich und sieh, dass jeder Bruch eigentlich eine Division ist, die du in einen Dezimalbruch verwandeln kannst.
- Teil von einer ZahlVerteile Äpfel gerecht und nimm mehrere Teile. Danach vergrößerst und verkleinerst du ein Rezept.
- Prozent: Bruch, Dezimalbruch, ProzentProzent heißt «von Hundert». Mit einem Hunderterfeld und einem 100-%-Streifen siehst du, dass Bruch, Dezimalbruch und Prozentangabe drei Namen für dieselbe Menge sind.
- Gemischte Zahlen multiplizieren und dividierenSieh an Streifen, wie das Multiplizieren und Dividieren von gemischten Zahlen funktioniert und welche Rechenart in einer Rechnung zuerst kommt.
- Dezimalbrüche dividieren, periodische DezimalbrücheVerwandle eine Division mit Dezimalbrüchen in eine Division ganzer Zahlen, rechne weiter, bis sich Ziffern wiederholen, und schreibe einen periodischen Dezimalbruch als Bruch.
- DoppelbrücheEin Bruch, dessen Zähler oder Nenner selbst ein Bruch ist: Teile einen Bruch am Streifen, zähle Brüche in Brüchen und dividiere mit dem Kehrwert.
- Gemischte Zahlen subtrahieren, Rechnen mit BrüchenSubtrahiere gemischte Zahlen, löse bei Bedarf ein Ganzes auf, berechne Terme mit Doppelbrüchen und rechne ein Rezept hoch.
- Bruchteil einer Zahl und das Ganze zum BruchteilDu berechnest den Bruchteil einer Zahl und aus einem Bruchteil das Ganze: erst ein Teil, dann das Ganze oder mehrere Teile.
- Unechte Brüche, das Ganze aus dem Teil, Prozentsatz, gerundeter DezimalbruchZeige einen unechten Bruch an Streifen, finde das Ganze aus dem Wert eines Teils oder einer Prozentangabe, berechne den Prozentsatz zweier Zahlen und runde einen Bruch auf Hundertstel.
- Bruchteile von MaßeinheitenWelcher Bruchteil eines Meters sind 6 cm, welcher Bruchteil eines Jahres sind 3 Monate? Du rechnest einen Bruchteil in eine kleinere Einheit um und vergleichst ihn mit einer Größe.
- Ein Fünftel und ein ZehntelTeile ein Ganzes in 5 und in 10 gleiche Teile, vergleiche 15 und 110 und bestimme ein Fünftel und ein Zehntel einer Größe.
Verhältnisse und Proportionalität
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- Verhältnis und Aufteilen im VerhältnisErkenne an zweifarbigen Streifen, was 2 : 3 bedeutet, kürze Verhältnisse und teile eine Menge im gegebenen Verhältnis auf.
- Proportionalität und DreisatzFinde mit einer Tabelle eine fehlende Größe: zuerst den Wert für 1 (Schlussrechnung), dann für jede beliebige Anzahl. Die indirekte Proportionalität kommt zuletzt.
- Vergrößern und ähnliche FigurenVergrößere eine Figur mit einem bekannten Faktor, finde ähnliche Figuren, lies den Streckungsfaktor ab und zeichne eine ähnliche Figur.
- Prozentuale ÄnderungRechne mit vermehrtem und vermindertem Grundwert: Der Anfangswert ist immer der Balken für 100 %, und eine Änderung ist ein Faktor. Löse auch Aufgaben, bei denen der ursprüngliche Preis gesucht ist.
- Preis pro Einheit, Geschwindigkeit und DichteMit einer Tabelle die Größe «für eine Einheit» bestimmen: den Preis pro Kilogramm, die Liter pro Euro und die Masse eines Kubikzentimeters.
- Maßstab, Karten und PläneMit dem Lineal auf einer Karte und einem Plan messen und mit dem Maßstab die wirklichen Größen bestimmen.
- Proportionalität und ihre GraphenFülle Wertetabellen aus, zeichne die Punkte, finde den Proportionalitätsfaktor k aus einem Punkt und erkenne, ob ein Graph direkt proportional, antiproportional oder quadratisch ist.
- Extra: zusammengesetzter DreisatzBeim zusammengesetzter Dreisatz ändern sich drei Größen zugleich. Ändere in der Tabelle immer nur eine Größe und entscheide, ob die Änderung direkt oder indirekt proportional ist.
- Weg, Geschwindigkeit, Zeit: s = v · tBestimme Weg, Geschwindigkeit und Zeit aus einer Tabelle und mit den Formeln s = v · t, v = s : t und t = s : v.
- Zwei Körper in Bewegung und gemeinsame ArbeitBestimme den Abstand zweier Körper, die sich gleichzeitig bewegen, und die Zeit für gemeinsame Arbeit mit einer Tabelle und einem Lösungsplan.
- Gleicher Preis, gleiche Größe: Aufgaben mit zwei KäufenLöse Aufgaben mit dem Kurzaufschrieb Preis, Anzahl, Gesamtpreis: Die gleiche Größe findest du aus zwei Unterschieden oder aus zwei Summen.
- Dreisatz: Vierter Wert und doppelter Schluss auf die EinheitLöse Aufgaben mit dem Faktor und mit dem Schluss auf die Einheit (Dreisatz) und Aufgaben, in denen sich zwei Größen ändern.
- Ähnliche Figuren: Länge, Flächeninhalt und VolumenWird eine Figur mit dem Streckungsfaktor k vergrößert, werden die Längen k-mal, die Flächeninhalte k²-mal und die Volumina k³-mal so groß. Finde mit der Verhältnistabelle die unbekannte Größe.
- Arbeit: Leistung pro Stunde, Zeit, GesamtmengeAufgaben zur Arbeit lösen: Leistung pro Stunde · Arbeitszeit = Gesamtmenge, mit einer Tabelle und mit dem Dreiecksschema.
- Schlussrechnung: die gleichbleibende GrößeAufgaben mit einer Größe lösen, die gleich bleibt (die Masse einer Kiste, ein Preis, eine Gesamtmasse): erst diese Größe bestimmen, dann die Frage beantworten.
- Vorgänge: Bewegung und ArbeitLöse Aufgaben zu gleichzeitiger Bewegung und gemeinsamer Arbeit mit einem Plan: Geschwindigkeit · Zeit = Weg, Leistung · Zeit = Arbeitsmenge.
- Prozentrechnung: Grundwert, Prozentwert, ProzentsatzProzentwert W, Prozentsatz p % oder Grundwert G mit dem Prozentstreifen, dem Dreisatz und der Formel W = G · p % bestimmen.
Geld
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- Münzen und ScheineLerne Münzen und Scheine kennen, lege einen Geldbetrag auf verschiedene Arten und sieh, dass mehr Münzen nicht immer mehr Geld sind.
- Einkaufen und WechselgeldAddiere die Preise im Warenkorb, bezahle und berechne das Wechselgeld durch Ergänzen.
- Prozente im Alltag: Rabatt, Zinsen, Gewinn und VerlustMit einem Prozentstreifen siehst du, wie viel ein Rabatt vom Preis abzieht, wie viel Zinsen ein Guthaben bringt und wie viel Prozent vom Einkaufspreis ein Gewinn oder Verlust sind.
- Zinsen und WertverlustVerfolge Ersparnisse Jahr für Jahr: Bei einfachen Zinsen kommt jedes Jahr derselbe Betrag dazu. Rechne Monats- und Tageszinsen, finde das Kapital aus den Zinsen und sieh, wie etwas jedes Jahr an Wert verliert.
- Mehrwertsteuer, Skonto, Verkaufspreis und PromilleNetto- und Bruttopreis mit 19 % und 7 % Mehrwertsteuer, Rabatt und Skonto, das Verkaufspreis-Schema und Promille.
- Prozent und ProzentpunkteDer Unterschied zwischen «um 5 % gestiegen» und «um 5 Prozentpunkte gestiegen»: ein Zinssatz von 20 % auf 25 %, der Anteil guter Schülerinnen und Schüler, eine Aufgabe zur Bank.
- Darlehen: Ratentilgung und AnnuitätNimm ein Darlehen auf und beobachte, wie die Restschuld wächst und schrumpft: bei Tilgung in gleichen Anteilen der Schuld oder bei gleichen Raten. Vergleiche, was am Ende insgesamt gezahlt wird.
Größen und Messen
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- Vergleichen: länger, schwerer, vollerWas ist länger? Was ist schwerer? Miss mit Büroklammern, Handspannen und Bechern.
- Länge, Masse und Fassungsvermögen messenMiss mit Lineal, Waage und Messbecher. Schätze zuerst, miss dann.
- Uhr und KalenderStelle die Zeiger einer Uhr, schreibe eine Uhrzeit am Nachmittag im 24-Stunden-Format und finde Tage im Kalender.
- Umfang und FlächeninhaltGeh um eine Figur herum und bestimme ihren Umfang, bedecke sie mit Einheitsquadraten und bestimme ihren Flächeninhalt. Du siehst: Figuren mit gleichem Flächeninhalt können verschiedene Umfänge haben.
- Viertelstunde und Reihenfolge in der ZeitStelle die Viertelstunde an der Uhr ein, schreibe die Uhrzeit auf zwei Arten und finde heraus, was länger gedauert hat.
- Einheiten umrechnenRechne Meter in Zentimeter, Gramm in Kilogramm und Liter in Milliliter um, in der Einheitentafel mit Komma, auch bei Flächen und Volumen. Der Umrechnungsstreifen hilft dir.
- Flächeninhalt von Dreieck, Parallelogramm, Trapez und KreisVerschiebe Teilstücke und sieh, warum der Flächeninhalt eines Parallelogramms Grundseite mal Höhe ist, warum das Dreieck die Hälfte davon ist, ergänze ein Trapez mit einer Kopie seiner selbst, schätze den Flächeninhalt eines Kreises und zerlege regelmäßige Vielecke.
- Volumen eines QuadersBaue Kisten aus Einheitswürfeln, zähle die Würfel Schicht für Schicht und erkenne, warum das Volumen eines Quaders Länge mal Breite mal Höhe ist.
- Extra: ThermometerLies ein Thermometer in °C ab und stelle Temperaturen unter null ein.
- Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma und ZylinderDrehe Prismen und Zylinder, finde die Grundfläche, fülle sie Schicht für Schicht und sieh, warum Volumen = Grundflächeninhalt mal Höhe ist, und klappe das Netz auf, um die Mantelfläche und den Oberflächeninhalt zu bestimmen.
- Genauer messen und ein Teil einer EinheitMiss mit einer eigenen Einheit, zähle die kleinen Teile eines Zentimeters und finde die Mitte einer Linie.
- Pyramiden, Kegel, Kugeln und zusammengesetzte KörperFülle eine Pyramide in ihr Prisma und eine Kugel in ihren Zylinder und sieh, woher 13 und 23 kommen. Klappe einen Kegel zu einem Kreissektor auf, bestimme seine Mantellinie mit dem Satz des Pythagoras und berechne Volumen und Oberflächeninhalt eines Turms.
- Rolle, Dose und Schachtel: Volumen und OberflächeRolle ein Blatt zu einer Röhre und gib ihren Rauminhalt in Litern an, vergleiche den Blechbedarf von Dose und Schachtel und bestimme das Volumen einer offenen Schachtel.
- Genauigkeit: untere und obere GrenzeEin gerundeter Messwert liegt in Wirklichkeit in einem Bereich. Zeichne den Bereich und bestimme mit den Grenzen den größten und den kleinsten Wert einer Rechnung.
- Zeit messen: Minuten und SekundenFinde eine Ankunftszeit, berechne die Zeitspanne zwischen zwei Uhren mit Zeitpfeilen und rechne zwischen Sekunden, Minuten und Stunden um.
- Kilometer, Fassungsvermögen und Masse von WasserRechne Meter in Kilometer um und umgekehrt, unterscheide das Fassungsvermögen eines Gefäßes vom Volumen der Flüssigkeit darin und lerne: 1 Liter Wasser sind 1000 Kubikzentimeter und wiegen 1 kg.
- Flächeninhalt von Raute und KreisFinde den Flächeninhalt einer Raute mit vier Dreiecken und mit ihren Diagonalen, erkenne, dass die Raute halb so groß ist wie das Rechteck um sie herum, und berechne den Flächeninhalt eines Kreises aus seinen Kreissektoren und mit der Formel π · r · r.
- Meter mit Zentimetern, Kilogramm mit GrammLies und schreibe Größen mit zwei Einheiten (325 cm = 3 m 25 cm), wähle eine passende Einheit und lies einen halben Zentimeter am Lineal ab.
- Das Dezimeter und Rechnen mit GrößenLerne, dass 1 dm = 10 cm ist, miss Bänder in Dezimetern und addiere Längen in Dezimetern und Zentimetern.
- Größen in zwei Einheiten: RechnenAddiere, subtrahiere, multipliziere und dividiere Größen mit zwei Einheiten: Schreibe sie in einer Einheit, rechne und schreibe das Ergebnis wieder mit zwei Einheiten.
- Flächeninhalt des Rechtecks und FlächeneinheitenBerechne den Flächeninhalt eines Rechtecks mit A = a · b, finde eine fehlende Seite und lerne die Flächeneinheiten cm², dm², m², Ar und Hektar kennen.
- Zeit: Rechnen mit ZeitspannenGrößere Zeiteinheiten in kleinere umwandeln, addieren oder subtrahieren und das Ergebnis in zwei Einheiten schreiben. Die Dauer eines Ereignisses aus Beginn und Ende bestimmen.
- Prismen, Quader und Pyramiden: Eigenschaften, Schnitte, PyramidenstumpfBestimme eine Raumdiagonale, das Volumen eines schiefen Prismas, die Mantelfläche einer geraden Pyramide, das Volumen eines Pyramidenstumpfs und einen Schnitt durch eine Pyramide.
- Schnitte an Zylinder, Kegel und KugelBestimme die Diagonale eines Achsenschnitts, den Radius einer Schnittfläche am Kegel, die Fläche des Achsenschnitts eines Kegels und den Radius eines Kugelschnitts.
- Prismen: Aufgaben mit Winkeln und DiagonalenBestimme Höhe und Seitenkante eines geraden Prismas aus einer Diagonale und einem Winkel, berechne die Mantelfläche und gib Ergebnisse mit Wurzel an.
- Pyramiden: Wohin die Spitze projiziert wirdEntscheide aus gleich langen Seitenkanten oder gleichen Neigungswinkeln, auf welchen Mittelpunkt der Grundfläche die Spitze projiziert wird, und bestimme dann Höhe und Mantelfläche.
- Volumen von Körpern: AufgabenBestimme das Volumen eines Werkstücks aus dem Anstieg des Wassers, den Radius einer umgeschmolzenen Kugel und das Volumen eines Körpers, der durch Drehen eines Dreiecks oder Trapezes entsteht. Lass π in der Antwort stehen.
- Umfang eines VielecksBerechne den Umfang des Dreiecks ABC und des Rechtecks DMPK als Summe der Längen aller Seiten.
- Bogenlänge, Sektorfläche und SegmentflächeBerechne die Länge eines Kreisbogens zum Winkel α, den Flächeninhalt eines Kreissektors und eines Kreissegments mit b = π · r · α / 180° und A = π · r² · α / 360°.
- Kreissektor, Bogen und SegmentEin Kreissektor ist α/360° eines Kreises: Berechne Bogenlänge und Flächeninhalt, bestimme den Winkel aus der Bogenlänge und berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments.
- Teile einer Kugel und das schiefe PrismaBerechne den Flächeninhalt einer Kugelzone, das Volumen eines Kugelabschnitts und eines Kugelsektors sowie das Volumen eines schiefen Prismas. Gib Antworten mit π ein: 20π tippst du als 20π.
- Tonnen, Dezitonnen und JahrhunderteRechne Tonnen und Dezitonnen in Kilogramm um und finde heraus, zu welchem Jahrhundert ein Jahr gehört.
Geometrie
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- Ebene Figuren und SymmetrieZeichne auf dem Punktefeld ein Dreieck und ein Quadrat, finde die Dreiecke und zeichne eine Symmetrieachse.
- Ecken, Kreise, Rechtecke und SymmetrieZähle Ecken, finde die Figur ohne Ecke, zeichne ein Rechteck, falte eine Figur und teile eine Figur in gleiche Teile.
- KörperErkenne Würfel, Quader, Zylinder, Kegel, Kugel und Pyramide, zähle Flächen und Kanten und finde Netze von Würfel und Quader.
- Gerade, Halbgerade, Strecke und WinkelFinde die Halbgeraden, zeichne parallele und senkrechte Geraden auf dem Punktraster und vergleiche Winkel mit einer Quadratecke.
- Dreiecke und ViereckeOrdne Dreiecke nach Seiten und Winkeln, lerne die Familie der Vierecke kennen, zeichne Trapez und Drachenviereck und die Diagonalen einer Raute.
- Vielecke und WinkelsummenFinde die regelmäßigen Vielecke, entdecke die Winkelsumme im Dreieck und zerlege Vielecke in Dreiecke, um ihre Winkelsummen zu bestimmen.
- Winkel mit dem Geodreieck messenLies und zeichne Winkel mit dem Geodreieck, auch überstumpfe Winkel bis 360°. Finde Nebenwinkel, Scheitelwinkel und Winkelhalbierende.
- Kreis: Radius, Durchmesser und πMiss Durchmesser und Radius eines Kreises. Lege ein Band um einen Kreis und finde heraus, wie oft der Durchmesser in den Umfang passt.
- Konstruktionen mit Zirkel und LinealKonstruiere mit Zirkel und Lineal Sehnen und Kreisbögen, die Mittelsenkrechte einer Strecke, die Winkelhalbierende und ein Dreieck aus drei Seiten.
- Winkel an ParallelenZiehe und drehe zwei Parallelen mit einer Geraden, die beide schneidet, und sieh, welche Winkel immer gleich groß bleiben, welche sich zu 180° ergänzen und was passiert, wenn die Geraden nicht parallel sind. Mit einer Hilfsparallele begründest du dann die Winkelsumme im Dreieck.
- Dreiecksungleichung; Seitenhalbierende, Höhen, WinkelhalbierendeBaue ein Dreieck aus drei Stäben und finde heraus, bei welchen drei Längen ein Dreieck entsteht und bei welchen nicht. Prüfe dann Seitenhalbierende, Höhe und Mittelsenkrechte an einem Dreieck, das du selbst verformst, und sieh, wo sich die drei Seitenhalbierenden immer treffen.
- Kongruente Figuren und kongruente DreieckeVerschiebe, drehe und spiegle eine Figur auf eine andere. Ordne dann die entsprechenden Eckpunkte zweier Dreiecke zu, wähle den Kongruenzsatz, schreibe einen Beweis Zeile für Zeile und ziehe ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass SSW kein Kongruenzsatz ist.
- Satz des Pythagoras und seine UmkehrungZeichne Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und vergleiche ihre Flächeninhalte, sieh mit vier Kopien des Dreiecks, warum der Satz stimmt, berechne eine fehlende Seite, prüfe mit der Umkehrung auf einen rechten Winkel und trage √2 mit dem Zirkel auf dem Zahlenstrahl ab.
- Begründen und Beweisen in der GeometrieZiehe an einem gleichschenkligen Dreieck und sieh, dass die Basiswinkel immer gleich bleiben. Beweise es dann mit Begründungen, nutze es in einem neuen Beweis und zeige mit einem Gegenbeispiel, dass eine andere Behauptung falsch ist.
- Strahlensätze und ähnliche DreieckeVerschiebe eine Parallele zu einer Dreiecksseite und sieh, dass die Verhältnisse auf den beiden anderen Seiten immer gleich bleiben. Probiere dann die Umkehrung, ähnliche Dreiecke und Streckungsfaktoren aus.
- Ortslinien und OrtsbereicheFinde alle Punkte mit einem bestimmten Abstand von einem Punkt, von einer Strecke, von zwei Punkten oder von den beiden Schenkeln eines Winkels und sieh, welche Figur sie bilden. Mit dem Zirkel färbst du dann einen Ortsbereich, der zwei Bedingungen zugleich erfüllt.
- Gerade und Kreis, Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel, TangentenSchiebe eine Gerade über einen Kreis und sieh, wann sie ihn schneidet, wann sie ihn nur berührt und wann sie ihn verfehlt. Bringe zwei Kreise zusammen, drehe eine Tangente um einen Kreis und sieh, dass der Umfangswinkel immer halb so groß ist wie der Mittelpunktswinkel.
- Umkreis, Inkreis, Sehnenviereck und Streckenlängen am KreisKonstruiere Umkreis und Inkreis eines Dreiecks und sieh, wo ihre Mittelpunkte liegen. Ziehe dann an den Ecken eines Sehnenvierecks und prüfe zwei sich schneidende Sehnen: Welcher Zusammenhang bleibt immer wahr?
- Ansichten von Würfelgebäuden und Pythagoras im RaumDrehe ein Würfelgebäude, erkenne seine Vorderansicht, Seitenansichten und Draufsicht und zeichne sie ins Gitter. Finde dann die Raumdiagonale eines Quaders, indem du den Satz des Pythagoras zweimal benutzt.
- Zusatz: Sätze im rechtwinkligen DreieckIn einem rechtwinkliges Dreieck mit einem 30°-Winkel ist die Seite gegenüber halb so lang wie die Hypotenuse. Auch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse ist halb so lang wie sie. Du siehst beide Sätze, beweist einen und wendest sie an.
- Grundtatsachen, Strecken und SätzeErkenne, dass durch zwei Punkte genau eine Gerade geht und dass AB = AC + CB gilt, finde den Mittelpunkt einer Strecke und unterscheide einen Satz von seiner Umkehrung.
- Zusatz: ParkettierungenLege Kopien eines regelmäßiges Vielecks um einen Punkt und finde heraus, welche ohne Lücken und Überlappungen passen, warum das regelmäßige Fünfeck eine Lücke lässt und wie du mit zwei Sorten von Vielecken parkettierst.
- Zusatz: Regelmäßige Polyeder und SchnitteDrehe die regelmäßiges Polyeder (regelmäßigen Polyeder), zähle ihre Flächen, Ecken und Kanten und entdecke V − E + F = 2. Schneide dann einen Würfel mit einem Messer und finde heraus, welche Formen ein Querschnitt haben kann.
- Außenwinkel, Seiten und Winkel, rechtwinklige DreieckeEntdecke, dass ein Außenwinkel so groß ist wie die Summe zweier Innenwinkel, dass dem größeren Winkel die größere Seite gegenüberliegt, und nutze die Kongruenzsätze für rechtwinklige Dreiecke.
- Sehnen, Ortslinien und die vier Schritte einer KonstruktionErkenne, dass die Strecke vom Mittelpunkt zur Mitte einer Sehne senkrecht auf der Sehne steht, berechne den Abstand zu einer Sehne und zähle die Lösungen einer Konstruktion mit Ortslinien.
- Kegelschnitte: einen Kegel schneidenSchneide einen Kegel mit verschiedenen Ebenen und sieh, woher Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel kommen. Dann siehst du, was das Verhältnis der Abstände von einem Brennpunkt und von einer Leitlinie ergibt.
- Regelmäßige Vielecke und der Ankreis eines DreiecksBestimme Seitenlänge und Inkreisradius eines regelmäßigen Vielecks aus dem Radius des Um- oder Inkreises sowie den Radius des Ankreises eines Dreiecks.
- Geraden und Ebenen im RaumUntersuche an einem Quader, wie zwei Geraden im Raum liegen können: parallel, sich schneidend oder windschief. Betrachte dann Gerade und Ebene, eine Gerade senkrecht zu einer Ebene und den Winkel zwischen zwei windschiefen Geraden.
- Grundtatsachen der Raumgeometrie und SchnitteLege eine Ebene durch drei Punkte, finde die Gerade, in der sich zwei Ebenen schneiden, erkenne eine Gerade, die zu einer Ebene parallel ist, und benenne die Form eines Schnitts durch einen Würfel.
- Parallele Ebenen, Projektion und SenkrechtePrüfe, ob zwei Ebenen parallel sind, vergleiche Strecken zwischen parallelen Ebenen, bestimme die Länge einer Parallelprojektion und den Abstand eines Punktes von einer Ebene.
- Symmetrie von Vielecken, Innen- und AußenwinkelZähle die Symmetrieachsen regelmäßiger Vielecke, berechne den Winkel an jeder Ecke und sieh, warum die Außenwinkel immer zusammen 360 Grad ergeben.
- Tangenten am Kreis und der WinkelhalbierendensatzBeweise, dass die beiden Tangenten von einem Punkt an einen Kreis gleich lang sind, und lerne, dass die Winkelhalbierende eines Dreiecks die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anderen Seiten teilt.
- Senkrechte und Parallele durch einen Punkt, Konstruktion aus AngabenKonstruiere von einem Punkt außerhalb einer Geraden die senkrecht und die parallel. Konstruiere dann eine Raute und ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Zirkel und überlege dir vorher in einer Planfigur, wo die Eckpunkte liegen.
- Winkel und Dreiecke mit Zirkel und Lineal konstruierenKonstruiere einen Winkel, der so groß ist wie ein gegebener, ein Dreieck aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel, aus einer Seite und zwei anliegenden Winkeln und ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Kathete und der Hypotenuse.
- Ortslinien in Konstruktionsaufgaben: Punkt, Kreis, DreieckFinde den gesuchten Punkt als Schnittpunkt zweier Ortslinien. Drei Aufgaben: ein Punkt auf einer Geraden mit gegebenem Abstand von einer anderen Geraden, ein Kreis, der eine Gerade in einem gegebenen Punkt berührt, und ein Dreieck aus einer Seite und dem Umkreisradius.
- Beweis durch WiderspruchLerne, Sätze durch Widerspruch zu beweisen: Nimm an, die Behauptung sei falsch, folgere einen Widerspruch und schließe daraus, dass die Behauptung stimmt.
- Ceva, Menelaos, Ptolemäus und die Eulersche GeradeZusatzgeschichten aus der Geometrie: wann sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, wann drei Punkte auf einer Geraden liegen, das Produkt der Diagonalen eines Sehnenvierecks und die Eulersche Gerade.
- Halbgeraden, Strecken und DiagonalenBenenne Punkte mit Buchstaben, Halbgeraden und Strecken, zeichne eine Strecke mit vorgegebener Länge und zähle die Diagonalen eines Vielecks, indem du zuerst ein einfacheres Problem löst.
- Achsensymmetrie und PapierfaltenZähle bei achsensymmetrischen Figuren mit der Symmetrieachse, zeichne das Spiegelbild und sage voraus, welche Form nach dem Falten und Ausschneiden entsteht.
- Geometrische Aufgaben lösen: Voraussetzung, Behauptung und PlanTrenne die Voraussetzung von der Behauptung, plane vor dem Beweis, finde den kürzesten Weg mit einer Senkrechten und dem Satz des Pythagoras und sieh Anwendungen am Kreis.
- Das Haus der ViereckeOrdne Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat nach Symmetrie und Diagonalen und konstruiere ein Drachenviereck.
- Verhältnisse, Höhensatz und KathetensatzAddiere bei einer Verhältnisgleichung Nenner und Zähler, entdecke den Höhensatz und berechne mit dem Kathetensatz die Länge einer Kathete.
- Thaleskreis, Umkreis und TangenteBeweise den Satz des Thales und seine Umkehrung, finde den Umkreis eines Dreiecks und konstruiere eine Tangente mit dem Thaleskreis.
- Kreislinie und KreisflächeUnterscheide Kreislinie und Kreisfläche, finde den Mittelpunkt und die Radien und markiere die Punkte, die auf der Kreislinie liegen.
- Dreiecke konstruieren mit PlanPlanfigur, nummerierte Konstruktionsbeschreibung und Anzahl der Lösungen bei Dreieckskonstruktionen, auch mit Höhe.
- Satz, Kehrsatz und BeweisZerlege einen Satz in Voraussetzung und Behauptung, bilde den Kehrsatz und widerlege ihn mit einem Gegenbeispiel, beweise und nutze den Satz des Pythagoras.
- Schrägbilder von KörpernVerkürze Tiefenkanten mit dem Maßstab q, erkenne fehlerhafte Schrägbilder und lies wahre Größen aus einem Schrägbild ab.
- Symmetrieebenen und AxialschnitteZähle Symmetrieebenen von Körpern, finde Axialschnitte von Zylinder und Kegel und nutze 3D-Koordinaten für die Raumdiagonale.
- Streckung im KoordinatensystemBerechne Bilder von Punkten und Geraden bei einer zentrischen Streckung mit der Vektorvorschrift, bestimme k und finde den Schwerpunkt eines Dreiecks.
- Lot und Schrägstrecke, Winkel zwischen Gerade und Ebene, FlächenwinkelBerechne eine Schrägstrecke aus dem Lot und ihrer Projektion, miss den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie einen Flächenwinkel an seinem ebenen Winkel und zeige, dass zwei Ebenen aufeinander senkrecht stehen.
- Parallelogramm, Rechteck, Raute und QuadratLerne die Bestandteile eines Vierecks, die Eigenschaften und Kriterien des Parallelogramms und die Diagonalen von Rechteck und Raute kennen, wie im «Haus der Vierecke».
- Das Trapez, seine Mittellinie, das Tangentenviereck und der FlächeninhaltLerne die Eigenschaften des gleichschenkligen Trapezes, die Mittellinie, die Bedingung für ein Viereck mit Inkreis und den Flächeninhalt eines Trapezes.
- Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke: Seiten und WinkelErkenne ähnliche Dreiecke aus zwei Seitenverhältnissen und dem eingeschlossenen Winkel oder aus drei Seitenverhältnissen, berechne eine fehlende Seite und vermeide die Falle eines Winkels, der nicht zwischen den Seiten liegt.
- Die Strecke, ihre Länge und die GeradeVergleiche Strecken, indem du eine auf die andere legst, bestimme die Länge von [AB] aus zwei Teilen, miss den Abstand zwischen Punkten und finde heraus, wie viele Geraden durch zwei Punkte gehen.
- Vielecke, deckungsgleiche Figuren, Flächeninhalt, Ar und HektarBenenne ein Vieleck mit seinen Ecken, finde die deckungsgleiche Figur durch Aufeinanderlegen, erkenne den Unterschied zwischen deckungsgleichen und flächengleichen Figuren und rechne den Flächeninhalt eines Feldes in Hektar um.
- Zylinder und Kegel: Grundflächen und NetzFinde die Grundflächen von Zylinder und Kegel und berechne die Mantelfläche eines Zylinders mit Hilfe seines Netzes.
- Punkt, Gerade, krumme Linie, Halbgerade, Strecke, StreckenzugFinde Punkte, gerade und krumme Linien in einem Bild. Benenne die Teile einer Geraden, die Punkte erzeugen, und miss die Länge eines Streckenzugs.
- Sekanten und TangenteVon einem Punkt P außerhalb eines Kreises werden zwei Sekanten oder eine Sekante und eine Tangente gezeichnet. Die Produkte der Abschnitte stimmen überein: PA · PB = PC · PD und PT² = PA · PB.
- Parallele Geraden und Ebene, ParallelprojektionBestimme Längen von Strecken zwischen parallelen Geraden, die eine Ebene schneiden, und Streckenverhältnisse bei der Parallelprojektion.
- Seitenhalbierende verdoppeln und der Satz von VarignonVerlängere eine Seitenhalbierende zu einem Parallelogramm und begründe eine Abschätzung für sie; verbinde die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks und sieh nach, welche Figur entsteht.
- Flächeninhalte von Dreiecken im VerhältnisVergleiche Flächeninhalte, ohne sie auszurechnen: Dreiecke mit gleicher Höhe verhalten sich wie ihre Grundseiten, eine Seitenhalbierende halbiert das Dreieck, und eine Ecke auf einer Parallelen ändert den Flächeninhalt nicht.
- Ähnlichkeit in der Praxis: Höhe aus dem Schatten, unzugängliche EntfernungVerwende ähnliche Dreiecke zum Messen im Gelände: die Höhe eines Baums aus seinem Schatten, eine Entfernung über einen Fluss und das Verhältnis der Flächeninhalte ähnlicher Figuren. Schreibe die Lösungen als Gegeben, Gesucht, Lösung, Antwort auf.
- Winkel zwischen Sehnen, Sekanten und einer TangenteEin Winkel, dessen Scheitel nicht auf dem Kreis liegt, wird an Bögen gemessen: zwischen zwei Sehnen die halbe Summe der Bögen, zwischen zwei Sekanten die halbe Differenz, zwischen Tangente und Sehne der halbe Bogen.
- Zwei Kreise und ihre gemeinsamen TangentenDie Lage zweier Kreise hängt vom Abstand d der Mittelpunkte und von den Radien R und r ab: Verschiebe einen Kreis und sieh, wie viele gemeinsame Punkte und gemeinsame Tangenten es gibt.
- Wiederholung: RaumgeometrieWähle den passenden nächsten Schritt eines Beweises über windschiefe Geraden und löse Aufgaben zum Winkel zwischen Geraden, zur Parallelprojektion und zu einem Lot auf eine Ebene.
- Teste dich: Körper mit Ecken, Rotationskörper, VolumenMultiple-Choice-Aufgaben mit den Antworten A, B, C, D zur Mantelfläche von Prisma, Zylinder und Kegel und zum Volumen einer Kugel.
- Vielflächner: Flächen, Kanten, EckenFinde Grundflächen, Seitenflächen und Kanten von Pyramide, Prisma und Quader und zähle ihre Flächen und Kanten.
- Flächeninhalt der senkrechten Projektion eines VielecksNutze den Satz über den Flächeninhalt einer Projektion, S′ = S · cos α, um den Flächeninhalt des Bildes oder des Vielecks selbst zu bestimmen.
- Wo eine Gerade eine Ebene trifft, wo sich zwei Ebenen schneidenKonstruiere den Durchstoßpunkt einer Geraden mit der Grundebene eines Würfels und die Schnittgerade zweier Ebenen eines Tetraeders mit Hilfe der Grundtatsachen der Raumgeometrie.
- Punkt mit gleichem Abstand zu den Ecken oder Seiten eines VielecksHat ein Punkt M von allen Ecken eines Dreiecks denselben Abstand, ist sein Lotfußpunkt der Umkreismittelpunkt, bei gleichem Abstand zu den Seiten der Inkreismittelpunkt. Berechne den Abstand von M zur Ebene.
- Winkel, rechter Winkel, Rechteck und QuadratBenenne einen Winkel mit Buchstaben, finde den rechten Winkel mit dem Faltwinkel, erkenne ein Rechteck unter den Vierecken und ein Quadrat unter den Rechtecken.
- Regelmäßige Vielecke: Winkel, Eckenzahl, KonstruktionBestimme die Eckenzahl eines regelmäßigen Vielecks aus seinem Winkel, prüfe, ob es existiert, und konstruiere ein Sechseck mit Sehnen der Länge r und ein 2n-Eck.
- Symmetrie und Streckung im RaumBestimme das Spiegelbild eines Punktes an einer Ebene, überlege, wie ein Volumen bei einer Streckung wächst, und finde alle Symmetrieebenen eines Würfels und einer Kugel.
- Vielflache, Netze und kürzeste WegeEntscheide, welche Vielflache konvex sind, verwende den Eulerschen Polyedersatz, klappe ein Prisma auf und finde den kürzesten Weg einer Spinne über einen Quader.
- Einbeschriebene und umbeschriebene KörperBestimme den Radius einer Kugel in einem Würfel oder einem Kegel und einer Kugel um einen Quader, außerdem das Volumen eines Zylinders um ein Prisma.
- Zeichnen auf KaropapierZeichne wie im Heft mit Kästchen: eine Strecke mit gegebener Länge, ein Quadrat, ein Rechteck, eine Figur mit gegebenem Umfang und eine vergrößerte oder verkleinerte Figur.
- Geodreieck und zusammengesetzte FigurenZeichne mit dem Geodreieck einen rechten Winkel und eine Senkrechte und bestimme den Flächeninhalt einer Figur aus Rechtecken.
- Würfelgebäude: Baupläne und AnsichtenEinen Bauplan mit Höhen lesen, Ansichten von vorne und von oben zeichnen und herausfinden, wie viele Würfel ein Gebäude höchstens hat.
- Parkette und BandornamenteZähle Figuren an einem Punkt im Parkett, setze ein Bandornament durch Verschieben und durch Spiegeln fort und finde Spiegelachsen.
- Abbildungen hintereinanderWende zwei Abbildungen nacheinander an, bestimme den Trägergraphen eines bewegten Punkts und achte auf die Reihenfolge.
Lage und Richtung
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- Lage, Richtung und DrehungenLinks und rechts, oben, unten und dazwischen finden. Dann einen Pfeil eine Vierteldrehung, eine halbe Drehung und eine Dreivierteldrehung drehen.
- Koordinaten und VerschiebungZeichne Punkte nach ihren Koordinaten, finde die fehlende Ecke einer Figur und verschiebe Figuren im Gitter.
- Achsenspiegelung, Drehung und Symmetrie im KoordinatensystemErweitere das Koordinatensystem um negative Zahlen, spiegle ein Dreieck an der y-Achse, drehe es um den Ursprung, finde Figuren mit Symmetriezentrum und ergänze eine Figur durch eine Halbdrehung.
- Kongruenzabbildungen und zentrische StreckungFinde heraus, welche Abbildungen Längen, Winkel und Umlaufsinn erhalten, strecke eine Figur von einem Zentrum Z aus mit dem Faktor 2 und 12, finde das Zentrum einer Streckung und erkenne, auf das Wievielfache der Flächeninhalt wächst.
- Spiegelung und DrehungSpiegle eine Figur an einer senkrechten Geraden, an einer schrägen Geraden und an der x-Achse, ergänze eine Figur aus ihrer Hälfte, drehe Figuren um verschiedene Punkte und bestimme die Koordinaten eines Bildpunkts.
- Abbildungen hintereinander ausführen, Symmetrie und SpiegeltrickLerne zwei Spiegelungen hintereinander, die Gleitspiegelung, die Symmetrieachsen eines Vielecks und den kürzesten Weg mit Hilfe einer Spiegelung kennen.
Muster und Folgen
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- Wiederholende und wachsende MusterFiguren und Zahlen, die einer Regel folgen. Das Muster erkennen, fortsetzen und verbessern.
- Rechenmaschinen und Regeln für ZahlenfolgenEine Zahl geht in eine Maschine und eine andere kommt heraus. Finde heraus, was die Maschine macht, und finde dann die Regel einer Zahlenfolge.
- Das n-te Folgenglied und geometrische FolgenLege aus einem Streichholzmuster eine Tabelle an, finde das n-te Folgenglied und berechne damit Figur 20, ohne sie zu zeichnen. Danach lernst du Folgen kennen, die jedes Mal mit einer Zahl multipliziert werden.
- Folgen, allgemeines Glied und RekursionBerechne mit der Schreibweise a_n die Glieder einer Folge, bilde eine Folge aus einer Rekursionsgleichung, erkenne periodische Folgen und zähle Dreieckszahlen.
- Summenzeichen und Summen von ReihenLies das Summenzeichen Σ, berechne die Summe der Glieder einer arithmetischen und einer geometrischen Folge und sieh, warum eine unendliche Summe manchmal eine Zahl ergibt.
- Besondere Summen, Differenzen und ModellierenBilde die Summe der Quadratzahlen, berechne eine Teleskopsumme, finde den Term einer quadratischen Zahlenfolge und löse eine Sachaufgabe mit einer arithmetischen Reihe.
- Graph einer Folge, monoton und beschränktZeichne eine Folge als Punkte (n | a_n): Eine arithmetische liegt auf einer Geraden, eine geometrische auf einer Kurve. Entscheide dann, ob eine Folge immer wächst und ob sie unter einer Schranke bleibt.
- Zahlenmuster: Päckchen, ANNA-Zahlen und ZahlenmauernSetze strukturierte Päckchen fort, finde die Regel, bilde ANNA-Zahlen und berechne einen fehlenden Stein in der Zahlenmauer.
Algebra
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- Rechenreihenfolge, Variablen und FormelnTerme Schritt für Schritt in der richtigen Reihenfolge berechnen. Dann eine Variable für eine Zahl einsetzen, Wertetabellen anlegen und Formeln verwenden.
- Terme aufstellen, vereinfachen und Termwerte berechnenTerme mit Plättchen aufbauen, gleichartige Terme zusammenfassen, Nullpaare wegnehmen und einen Wert für x einsetzen.
- Lineare Gleichungen an der Waage lösenEine Gleichung ist eine Waage. Probiere Werte aus und löse dann Gleichungen mit x auf einer oder beiden Seiten, mit Brüchen und mit Klammern, indem du auf beiden Waagschalen dasselbe tust. Prüfe mit der Probe und erkenne Gleichungen ohne oder mit allen Lösungen.
- Gleichungen aus Textaufgaben aufstellen und lösenDie Unbekannte durch eine Variable beschreiben, den Text in eine Gleichung übersetzen, sie lösen und die Lösung am Text prüfen (Probe und Antwortsatz).
- Ausmultiplizieren und AusklammernEine Klammer als Rechteck sehen: durch Anmalen der Fläche mit Plättchen ausmultiplizieren und rückwärts die Seiten eines Rechtecks finden, also ausklammern.
- Binomische Formeln und TermumformungenZwei Klammern als Rechteck aus Plättchen und in der Tabelle ausmultiplizieren, sehen, warum (a + b)² zwei Streifen ab hat, und eine Gleichung von einer allgemeingültigen Aussage unterscheiden.
- Ungleichungen, Intervalle und ihre LösungDie Lösungsmenge einer Ungleichung auf der Zahlengeraden darstellen: gefüllter oder leerer Kreis, Strecke oder Pfeil. Dann Ungleichungen lösen und verstehen, warum sich das Ungleichheitszeichen bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl umdreht.
- Polynome: Normalform, Subtrahieren, MultiplizierenEin Polynom in Normalform schreiben, mit Klammern subtrahieren, drei Terme mit zwei Termen im Gitter multiplizieren und ein Produkt potenzieren.
- Lineare GleichungssystemeDen Punkt finden, der zu zwei Gleichungen zugleich passt: am Schnittpunkt der Geraden ablesen, die zweite Gerade zeichnen, mit dem Additionsverfahren eine Variable eliminieren, parallele und zusammenfallende Geraden erkennen und dort rechnen, wo die Zeichnung nur einen Schätzwert liefert.
- Quadratische Terme faktorisieren und weitere FormelnPlättchen zu einem Rechteck anordnen, um seine zwei Klammern zu finden, Nullpaare für negative Zahlen nutzen, zuerst einen gemeinsamen Faktor ausklammern und die Summe von Kubikzahlen kennenlernen.
- Gleichungen mit zwei Variablen und GleichungssystemeFinde die Zahlenpaare, die eine Gleichung mit zwei Variablen erfüllen, zeichne ihren Graphen, stelle aus einem Text ein Gleichungssystem auf und bestimme seine Lösung.
- BruchtermeZähler und Nenner eines Bruchterms faktorisieren und nur ganze Faktoren kürzen. Die Zahlen finden, die für x nicht erlaubt sind (Definitionsmenge), und Bruchterme addieren, subtrahieren und dividieren.
- Ausklammern mit Gruppieren und KubikzahlenEinen Term mit vier Summanden durch Gruppieren faktorisieren, Summen und Differenzen von Kubikzahlen zerlegen und entscheiden, womit man beginnt, wenn mehrere Verfahren passen.
- Quadratische Gleichungen: Faktorisieren, quadratische Ergänzung, LösungsformelQuadratische Gleichungen durch Faktorisieren lösen, mit Plättchen quadratisch ergänzen, mit der Diskriminante die Anzahl der Lösungen bestimmen und den Extremwert eines quadratischen Terms finden.
- Polynome und PolynomdivisionVertiefung: Grad und Normalform eines Polynoms, dann Polynomdivision durch rückwärts ausgefülltes Multiplikationsgitter, mit Rest und mit fehlenden Potenzen.
- Horner-Schema und ganzzahlige NullstellenTeile ein Polynom mit dem Horner-Schema durch x − a, bestimme den Rest und finde die ganzzahligen Nullstellen unter den Teilern des Absolutglieds.
- Vorzeichentabellen und BruchungleichungenBestimmen, wo ein Term positiv und wo negativ ist: Nullstellen markieren, unter der Zahlengeraden eine Vorzeichentabelle ausfüllen und die Lösungsmenge einer Ungleichung wie x − 1x + 2 ≥ 0 ablesen.
- Ungleichungen mit zwei Variablen und LösungsbereicheEine Randgerade zeichnen, durchgezogen oder gestrichelt wählen, einen Punkt testen und den Lösungsbereich einfärben; dann den Bereich finden, der zwei oder drei Ungleichungen zugleich erfüllt.
- Zahlenungleichungen und ihre EigenschaftenZahlen über das Vorzeichen der Differenz a − b vergleichen, Ungleichungen beweisen, Ungleichungen gliedweise addieren und den Wert eines Terms abschätzen.
- Systeme linearer UngleichungenJede Ungleichung eines Systems lösen, die Lösungsmengen auf der Zahlengeraden darstellen und ihre Schnittmenge bestimmen: ein Intervall, eine einzige Zahl oder die leere Menge.
- Nichtlineare Gleichungssysteme mit zwei VariablenDie Lösungen eines Systems mit einer quadratischen Gleichung als gemeinsame Punkte der Graphen finden, mit dem Einsetzungsverfahren rechnen und aus einer Sachaufgabe ein System aufstellen.
- Gleichungssysteme: EinsetzungsverfahrenSetze den Term für eine Unbekannte in die andere Gleichung ein, achte auf die Klammer, löse zuerst nach einer Variablen auf und prüfe das Ergebnis am Graphen und in beiden Gleichungen.
- Bruchgleichungen und WurzelgleichungenGleichungen mit Brüchen und Gleichungen mit Quadratwurzeln lösen und Scheinlösungen durch die Probe aussortieren.
- Summe und Produkt der Lösungen, versteckte quadratische Gleichungen, Gerade und ParabelSumme und Produkt der Lösungen aus den Koeffizienten ablesen, eine Gleichung vierten Grades durch Substitution lösen und die Schnittpunkte von Gerade und Parabel finden.
- Linearfaktoren, Nullstellen und Satz vom RestEinen Rest ohne Division bestimmen, mit dem Linearfaktor-Kriterium einen Faktor erkennen, die Nullstellen einer kubischen Gleichung finden und Koeffizienten aus den Nullstellen ablesen.
- Quadratische Ungleichungen und ParameterQuadratische Ungleichungen über die Vorzeichen der Faktoren lösen und sehen, wie ein Parameter die Frage „Wie viele Lösungen?“ in eine Ungleichung verwandelt.
- Formeln umstellenEinen Buchstaben in einer Formel allein auf eine Seite bringen: mit denselben Umformungen wie an der Waage, nur mit Buchstaben.
- Näherungen mit (1 + x)^nMit den ersten Gliedern der Entwicklung von (1 + x)^n Wurzeln und Kehrwerte von Zahlen nahe 1 abschätzen.
- Parabel durch drei PunkteStelle ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen für a, b, c auf, löse es und prüfe die Parabel am Graphen.
- Gleichungen: Umkehraufgaben und unbekannte GrößenStelle aus einem Text eine Gleichung auf, löse sie mit der Umkehraufgabe und prüfe durch Einsetzen. Dazu kommt eine Ungleichung mit einer Variablen, die du durch Probieren löst.
- Rechnen mit Bruchtermen: Subtraktion, entgegengesetzte Nenner, Potenzen, IdentitätenBruchterme mit Vorzeichenwechsel subtrahieren, Erweiterungsfaktoren finden, entgegengesetzte Nenner umformen, einen Bruchterm potenzieren und Identitäten beweisen.
- Äquivalente Gleichungen, Bruchgleichungen und SachaufgabenÄquivalente Gleichungen und Scheinlösungen kennenlernen, eine Bruchgleichung mit Probe lösen und Gleichungen für Bewegungs- und Arbeitsaufgaben aufstellen.
- Reinquadratische Gleichungen und Zerlegung in LinearfaktorenDie drei Arten unvollständiger quadratischer Gleichungen lösen (Lösungsmenge L), die Nullstellen eines quadratischen Terms bestimmen und den Term mit seinem Faktor a in Linearfaktoren zerlegen.
- Formeln, Gleichungen und die Lösung einer GleichungDie Formel für Weg, Geschwindigkeit und Zeit anwenden, den unbekannten Teil einer Rechnung finden (Umkehraufgabe), eine Lösung durch Einsetzen prüfen, Terme mit Umkehrzeichen umformen und erkennen, wann ax = b keine Lösung hat.
- Textaufgaben mit GleichungssystemenÜbersetze Aufgaben zu Bewegung, Arbeit, Ziffern und Rechtecken in Gleichungen: Lege die Unbekannten x und y fest, stelle das Gleichungssystem auf, löse es und prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabe passt.
- Terme mit einer VariablenEin Buchstabe statt eines Kästchens ergibt einen Term mit einer Variablen. Setze den Wert der Variablen ein und berechne den Termwert.
- Ungleichungen mit einer Variablen: Wie sich ein Glied auf das Ergebnis auswirktLöse Ungleichungen mit einer Variablen auf zwei Wegen: durch Probieren und durch Zurückführen auf eine Gleichung. Schreibe die Lösungsmenge mit Auslassungspunkten.
- Vorzeichenwechsel und Intervalle bei Produkten und BrüchenMarkiere die Nullstellen auf der Zahlengeraden, setze in jeden Abschnitt ein Vorzeichen und lies die Lösung einer Ungleichung wie (x + 1)x − 4x − 2 ≤ 0 ab.
- Gleichungen mit ParameterEin Parameter ist eine Zahl, die nicht angegeben, aber fest gewählt ist. Sieh dir den Graphen an und unterscheide Fälle: Für welche a gibt es Lösungen, und wie viele?
- Bruchterme multiplizieren und dividierenBruchterme multiplizieren und dividieren: faktorisieren, kürzen, die Division in eine Multiplikation mit dem Kehrbruch umwandeln und angeben, welche Werte der Variablen nicht erlaubt sind (Definitionsmenge).
- Ganzer Anteil eines Bruchs und Gleichungen in ganzen ZahlenSpalte bei einem Bruchterm den ganzen Anteil ab, bestimme letzte Ziffern und Reste von Potenzen mit Hilfe ihres Zyklus und löse Gleichungen in ganzen Zahlen.
- Quadratische Gleichung mit ParameterVerschiebe a und sieh, wie die Parabel steigt und fällt: Die Anzahl der Lösungen folgt der Diskriminante, die Vorzeichen der Lösungen folgen dem Satz von Vieta.
- Wurzelungleichungen und äquivalente SystemeLöse Ungleichungen mit einer Quadratwurzel, indem du sie in ein äquivalentes System umformst und dabei die Definitionsmenge und das Vorzeichen der rechten Seite beachtest.
- Systeme und Vereinigungen von Ungleichungen; Exponential- und LogarithmussystemeUnterscheide «und» (ein System, der gemeinsame Teil) von «oder» (die Vereinigung), löse gemischte Systeme und Systeme von Exponential- und Logarithmusgleichungen.
- Sachaufgaben: Mischungen, Legierungen und ProzenteLege für eine Lösung, eine Legierung und einen Preis eine Tabelle «vorher – nachher» an, wähle x passend zur Bedingung und prüfe, ob die Antwort zur Geschichte passt.
- Terme gliedern und RechenreihenfolgeDie Hauptoperation eines Terms benennen, die Rechenschritte in der richtigen Reihenfolge ausführen und mit Klammern den Wert verändern.
- Platzhalter-Gleichungen und UmkehraufgabenEine Geschichte als Gleichung mit Platzhalter aufschreiben, die Zahl mit der Umkehraufgabe finden, Zahlenrätsel rückwärts lösen und die Probe machen.
Koordinatengeometrie
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- Steigung, y-Achsenabschnitt und y = mx + tMiss mit einem Steigungsdreieck, wie steil eine Gerade ist, stelle m und t mit Schiebereglern ein, zeichne eine Gerade aus einer Wertetabelle und finde die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte.
- Geradengleichungen, parallele und senkrechte Geraden, Abstand und MitteForme die allgemeine Form einer Geraden in y = mx + t um, zeichne parallele und senkrechte Geraden, bestimme den Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras und die Streckenmitte als Mittelwert.
- Teilverhältnis und Abstand Punkt–GeradeBestimme den Punkt, der eine Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt, und berechne den Abstand eines Punkts von einer Geraden mit der Formel.
- Flächeninhalt eines Dreiecks aus KoordinatenBestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks aus den Koordinaten seiner drei Eckpunkte und löse geometrische Aufgaben im Koordinatensystem.
- Der Kreis: Gleichung, Gerade und Kreis, TangenteStelle die Gleichung eines Kreises auf und lies sie ab, bestimme die gemeinsamen Punkte von Gerade und Kreis und rechne mit der Tangente und ihrer Länge.
- Kegelschnitte und die ParabelErkenne die Parabel als Menge aller Punkte, die von einem Brennpunkt und einer Leitgeraden gleich weit entfernt sind, und lies ihre Gleichung mit dem Scheitel im Ursprung und an beliebiger Stelle ab.
- Ellipse, Hyperbel und eine Gerade dazuBestimme die Brennpunkte von Ellipse und Hyperbel aus der Gleichung, konstruiere eine Ellipse mit beliebigem Mittelpunkt, zeichne die Asymptote einer Hyperbel und prüfe eine Gerade gegen eine Parabel.
- Parameterdarstellung und PolarkoordinatenZeichne eine Kurve aus ihrer Parameterdarstellung Punkt für Punkt, eliminiere den Parameter, modelliere eine Bewegung und rechne Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten um.
- Steigungswinkel, Steigung und kollineare VektorenBestimme die Steigung m aus dem Steigungswinkel einer Geraden (m = tan α, auch für stumpfe Winkel), senkrechte Geraden, den Schnittwinkel zweier Geraden und einen zu einem gegebenen Vektor kollinearen Vektor.
- Gerade und Achsen: Dreieck, Umfang und FlächeninhaltFinde die Schnittpunkte einer Geraden ax + by = c mit den Achsen, Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks, das sie abschneidet, und den Schnittpunkt zweier Geraden.
- Flächeninhalt mit DeterminantenBerechne Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken aus Vektoren und Koordinaten mit der zweireihigen Determinante.
- Koordinaten eines Punktes im RaumEntscheide, wo ein Punkt im Raum liegt, und bestimme den Abstand zweier Punkte, den Mittelpunkt einer Strecke und einen symmetrischen Punkt aus den Koordinaten.
Funktionen und Graphen
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- Zuordnungen, Wertepaare und FunktionenStelle eine Zuordnung als Pfeildiagramm dar, zeichne ihre Wertepaare als Punkte, entscheide, welche Zuordnungen Funktionen sind, und wende den Test mit der senkrechten Geraden auf einen Graphen an.
- Graphen im Alltag, Geschwindigkeit und WachstumLies ein Weg-Zeit-Diagramm auf Pausen und Geschwindigkeiten, skizziere den Graphen eines Spaziergangs, ordne einer Flasche beim Befüllen den Graphen zu, vergleiche Verdopplung mit gleichmäßigem Wachstum, vergleiche zwei Tarife und erkenne irreführende Achsen.
- Graphen von quadratische FunktionenFülle eine Wertetabelle für y = x2 − 2x − 3 auch mit negativen x aus und zeichne den Graphen, erkenne, warum die Parabel unten rund ist, lies Lösung der Gleichungn, y-Achsenabschnitt und Scheitelpunkt ab und sieh, was a in y = ax2 bewirkt.
- Schreibweise f(x), Definitionsmenge und WertemengeBerechne Funktionswerte f(x) aus dem Funktionsterm, finde die Stelle zu einem Funktionswert, gib die Definitionsmenge eines Bruchs und einer Wurzel an und lies die Wertemenge am Graphen ab.
- Betragsfunktion und GaußklammerBetrag in der Wertetabelle und im Graphen, eine Betragsgleichung als zwei Schnittpunkte mit einer Geraden, die Stufen der Gaußklammer (Abrundungsfunktion) ablesen und einen Taxitarif zeichnen, der in Stufen steigt.
- Monotonie und Symmetrie von FunktionenFinde die Intervalle, auf denen ein Graph steigt oder fällt, spiegle Punkte an der y-Achse und am Ursprung und prüfe mit f(–x), ob eine Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keines von beiden ist.
- Summe, Verkettung und UmkehrfunktionAddiere zwei Funktionen, achte bei der Verkettung auf die Reihenfolge, finde die Umkehrung einer Rechenmaschine, indem du ihre Schritte rückgängig machst, zeichne den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegeln an der Geraden y = x und erkenne mit einer Waagrechten, welche Funktionen eine Umkehrfunktion haben.
- Graphen verschieben, spiegeln und streckenVerschiebe den Graphen von f(x) = (x − h)² + k mit Reglern, lies den Scheitelpunkt einer Parabel ab, sieh, wohin der Punkt bei f(2x) wandert, und kombiniere mehrere Abbildungen an einer Parabel.
- Kubische Graphen, Skizzieren von Polynomen und AsymptotenFülle die Wertetabelle einer kubischen Funktion aus und zeichne ihren Graphen, skizziere einen Polynomgraphen aus Nullstellen und y-Achsenabschnitt, erkenne eine doppelte Nullstelle und zeichne die senkrechte, die waagrechte und die schräge Asymptote einer gebrochen-rationalen Funktion.
- Die lineare Funktion: Term, Wertetabelle, GraphGib eine Funktion durch Term, Wertetabelle und Graph an, zeichne eine Gerade aus m und t, finde die Nullstelle und die Stellen, an denen die Funktionswerte positiv sind.
- Quadratische Funktionen und ihre EigenschaftenBerechne den Scheitelpunkt einer Parabel, lies Wertemenge und Monotonie ab, stelle eine Parabelgleichung auf, wechsle zwischen den drei Formen und löse ein Extremwertproblem.
- Wachstum und Abnahme mit dem WachstumsfaktorWähle das passende Modell für eine Abnahme um 20 % pro Jahr, rechne mit wiederholtem Verdoppeln, bestimme den Wachstumsfaktor aus einer Wertetabelle und erkenne, ob eine Wertetabelle zu linearem oder zu exponentiellem Wachstum gehört.
- Exponentialfunktionen b · a^x und einfache ExponentialgleichungenFülle eine Wertetabelle von 2^x aus, sieh, dass eine Basis über 1 eine steigende Kurve und eine Basis zwischen 0 und 1 eine fallende Kurve ergibt, erkunde den Einfluss des Faktors b, lies den y-Achsenabschnitt ab und löse eine Exponentialgleichung, indem du beide Seiten als Potenz derselben Basis schreibst.
- Der LogarithmusErkenne, dass der Logarithmus die Hochzahl ist, mit der man die Basis potenzieren muss, zeichne den Graphen der Logarithmusfunktion als Spiegelbild der Exponentialfunktion, berechne einen Logarithmus mit dem Taschenrechner und lerne die Werte log_b b = 1 und log_b 1 = 0 kennen.
- Logarithmensätze und ExponentialgleichungenEntdecke die Logarithmensätze für Produkt, Quotient und Potenz, löse eine logarithmische Gleichung und Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus (Verdopplungszeit, k · a^x = c) und sieh, wie Logarithmen Messwerte zu einer Geraden machen.
- Abschnittsweise Funktionen, Signum und BetragLies eine abschnittsweise definierte Funktion ab, zeichne die Signumfunktion, erzeuge y = |x − 1| + 2 durch Verschieben des V und lies Betragsungleichungen am Graphen ab.
- Größter und kleinster Funktionswert, PotenzfunktionenBestimme den größten und kleinsten Funktionswert einer Funktion auf einer Menge, vergleiche die Graphen von y = xⁿ für gerades und ungerades n und lerne den Graphen von y = x⁻ⁿ kennen.
- Verschobene HyperbelnVerschiebe die Hyperbel mit b und c, lies Asymptoten, D und W ab und berechne den y-Achsenabschnitt.
- Geraden- und ParabelscharenVerschiebe den Parameter einer Schar, finde den Trägergraphen der Scheitelpunkte und löse das Tangentialproblem mit der Diskriminante.
- Exponentialgleichungen und Ungleichungen: MethodenKlammere eine gemeinsame Potenz aus, substituiere t = 2ˣ, lies eine Lösung am Graphen ab und entscheide, wann sich das Ungleichheitszeichen umdreht.
- Die Funktionen y = k/x und y = √x und ihre GraphenZeichne eine Hyperbel aus einer Wertetabelle, finde heraus, in welchen Quadranten ihre Äste liegen, bestimme k aus einem Punkt und zeichne y = √x.
- Logarithmus: Grundidentität, Basiswechsel, LogarithmusfunktionNutze die Grundidentität des Logarithmus, wechsle die Basis und vergleiche Logarithmen mit einer Basis zwischen 0 und 1. Die Logarithmusgleichungen stehen in einem anderen Studio.
- Logarithmusgleichungen und UngleichungenLöse Gleichungen mit einer Summe von Logarithmen, prüfe Lösungen an der Definitionsmenge, substituiere t = lg x, bestimme eine unbekannte Basis und löse Ungleichungen mit einer Basis zwischen 0 und 1.
- Die Funktion y = x² und ihr GraphLege eine Wertetabelle für y = x² an, zeichne die Punkte, lerne die Eigenschaften des Graphen kennen und löse x² = 4 und x² = x + 2 am Graphen.
- Eigenschaften einer Funktion am Graphen ablesenLies am Graphen einer Funktion auf [–4; 7] die Nullstellen, die Bereiche mit gleichem Vorzeichen, ein Intervall mit steigendem Verlauf und den größten Funktionswert ab.
- Graphen von y = ⁿ√x und Potenzen mit rationalem ExponentenVergleiche die Graphen von ³√x, ⁴√x und √x, bestimme die Definitionsmenge einer n-ten Wurzel und einer Potenz mit rationalem Exponenten und vergleiche Zahlen mit Hilfe der Monotonie.
- Wachstum und Zerfall: B(t) = B₀ · q^tUnterscheide lineare, quadratische und exponentielle Wertetabellen, bestimme Verdopplungszeit und Halbwertszeit mit dem Logarithmus und erkenne die Grenzen eines exponentiellen Modells.
- Ganzrationale Funktionen: Ränder, Nullstellen, TermeLies das Randverhalten aus Grad und Leitkoeffizient, unterscheide einfache und doppelte Nullstellen, löse eine biquadratische Gleichung und bestimme einen Term aus dem Graphen.
- Extremwertprobleme ohne AbleitungStelle die Zielfunktion für ein eingezäuntes Rechteck, ein Rechteck im Dreieck und einen Quader auf und lies den größten Wert am Scheitel oder in einer Wertetabelle ab. Gib die Definitionsmenge der Variablen an.
- Funktionsfamilien und ihre ParameterVerschiebe Potenz- und Exponentialfunktionen mit Schiebereglern, lies Definitionsmenge, Wertemenge und Asymptote ab, finde die Umkehrfunktion als Spiegelung und ordne einem Graphen seinen Term zu.
- Gebrochen-rationale FunktionenUnterscheide Polstelle und hebbare Lücke, lies Grenzwerte ab, bestimme Asymptoten und stelle einen Term aus Eigenschaften auf.
- Funktionsterm aus BedingungenÜbersetze Eigenschaften in Gleichungen für f, f′ und f″, bestimme Parameter und die Ortskurve von Extrempunkten einer Schar.
Vektoren
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- Gerichtete Strecken, Vektoren und VerschiebungsvektorenZeichne Vektoren vom Anfangspunkt zum Endpunkt und lies sie als Spaltenvektoren ab, finde gleiche und entgegengesetzte Vektoren, verschiebe eine Figur um einen Vektor und berechne Betrag und Mittelpunkt.
- Vektoren addieren, vervielfachen und EinheitsvektorenAddiere Vektoren (Pfeil an Pfeil und mit dem Parallelogramm), subtrahiere einen Vektor von einem anderen, strecke und drehe einen Vektor mit einer Zahl und schreibe jeden Vektor mit i und j.
- Extra: Vektoren in BewegungAddiere die Bewegungen eines Roboters zu einer einzigen Bewegung, schicke ihn mit dem Gegenvektor nach Hause und sieh, wie die Strömung eines Flusses den Weg einer Schwimmerin verändert.
- Vektoren im Raum: Betrag, Abstand und MittelpunktEin Vektor im Raum ist die Raumdiagonale eines Quaders. Bestimme den Betrag eines Vektors, den Abstand zweier Punkte, einen Mittelpunkt, den Vektor zwischen zwei Punkten und den Endpunkt eines Vektors aus den Koordinaten.
- Skalarprodukt und KreuzproduktDas Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl, die etwas über den Winkel zwischen ihnen verrät; das Kreuzprodukt ist ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Berechne beide und wende sie an.
- Flächeninhalt und Volumen mit dem KreuzproduktDer Betrag des Kreuzprodukts zweier Vektoren ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das sie aufspannen. Mit drei Vektoren liefert eine Determinante das Volumen des Spats.
- Gleichungen einer Geraden und einer Ebene im RaumEine Gerade im Raum ist durch einen Punkt und einen Richtungsvektor festgelegt, eine Ebene durch einen Punkt und einen Normalenvektor. Stelle ihre Gleichungen auf und prüfe Punkte.
- Winkel, Schnittpunkte und Abstände im RaumBestimme den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene, den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, den Abstand eines Punkts von einer Ebene und den Winkel zwischen zwei Ebenen mit dem Skalarprodukt und mit Gleichungen.
- Vektoren beim Beweisen und Lösen von AufgabenBestimme den Schwerpunkt zweier gewichteter Punkte, beweise mit Vektoren, dass die Verbindung der Seitenmitten im Dreieck parallel zur dritten Seite und halb so lang ist, und löse Aufgaben zur Geschwindigkeit und zum Parallelogramm, indem du Vektoren zeichnest.
- Vektoren in der Ebene: Koordinaten, Betrag, SkalarproduktBestimme die Koordinaten und den Betrag eines Vektors, das Skalarprodukt mit Koordinaten und mit dem Winkel, die Bedingung für orthogonale Vektoren und den Winkel zwischen zwei Vektoren.
- Das Skalarprodukt: Beträge, Winkel, KoordinatenBerechne das Skalarprodukt aus den Beträgen und dem Winkel, quadriere eine Summe von Vektoren, bestimme den Kosinus des Winkels zwischen Vektoren und den Winkel eines Dreiecks aus seinen Eckpunkten.
- Vektoren im Raum: Summe, Vielfache, kollinear und komplanarAddiere Vektoren mit der Spatregel und mit Koordinaten, multipliziere einen Vektor mit einer Zahl, bilde Linearkombinationen und finde heraus, wann drei Vektoren in einer Ebene liegen.
- Vektoren am Prisma und am Quader: gleich, Summe, parallelUnterscheide gleiche, gleichgerichtete und entgegengesetzte Vektoren an einem Prisma, addiere Vektoren nach der Dreiecksregel, drücke einen Vektor durch andere aus und erkenne parallele Vektoren an ihren Koordinaten.
- Einen Vektor mit zwei anderen Vektoren darstellenJeden Vektor der Ebene kannst du aus zwei Vektoren aufbauen, die nicht auf einer Geraden liegen: p = x · a + y · b. Zeichne die Teile im Gitter, bestimme die Koeffizienten, schreibe AM im Parallelogramm auf und berechne die Länge einer Projektion.
- Lagebeziehungen im RaumPunktprobe bei einer Geraden, Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt, Lage zweier Geraden und Schnittpunkt von Gerade und Ebene.
- Abstände im RaumAbstand Punkt–Ebene mit der Hesse-Normalenform, Lotfußpunkt, parallele Ebenen und windschiefe Geraden.
Trigonometrie
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- Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen DreieckVergrößere und verkleinere ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel von 35° und sieh: Die Seiten ändern sich, ihr Verhältnis nicht. Benenne dann Gegenkathete, Ankathete und Hypotenuse für jeden Winkel, berechne mit dem Taschenrechner Seiten und Winkel, entdecke sin²α + cos²α = 1 und löse eine Aufgabe zur Steigung einer Straße.
- Die genauen Werte für 30°, 45° und 60°Halbiere ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat und finde so die genauen Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für 30°, 45° und 60°. Verbinde den Tangens mit der Steigung einer Geraden und löse eine Gleichung wie sin x = 12.
- Winkel jeder Größe, Einheitskreis und BogenmaßDrehe einen Punkt um Winkel über 90° und auch um negative Winkel auf dem Einheitskreis, lies Sinus und Kosinus an seiner Lage ab, miss den Winkel im Bogenmaß und bestimme exakte Werte wie sin7π6.
- Zusammengehörige Winkel, Bogenlänge und KreissektorSpiegle einen Punkt am Einheitskreis und sieh, wie Sinus und Kosinus von α und 180° − α zusammenhängen. Nutze den Bezugswinkel für cos 120°, entdecke sin(90° − α) = cos α und berechne dann die Länge eines Kreisbogens und den Flächeninhalt eines Kreissektors im Bogenmaß.
- Graphen von Sinus und KosinusLies die Graphen von Sinus und Kosinus im Bogenmaß ab: Nullstellen, Hochpunkt, Periode von sin 2x, die Gleichung sin x = 1/2 und der Zusammenhang cos x = sin(x + π/2).
- Trigonometrische Beziehungen und BeweiseBerechne mit sin2θ + cos2θ = 1 und tanθ = sinθcosθ eine Größe aus einer anderen, finde die falsche Zeile in einem „Beweis“ und lerne, was ein Beweis einer allgemeingültige Gleichung ist.
- Additionstheoreme und doppelte WinkelBestimme mit den Additionstheoremen und exakten Werten sin 75° und arbeite mit dem doppelten Winkel.
- Trigonometrische Gleichungen: quadratisch und mit zwei UnbekanntenLöse trigonometrische Gleichungen, indem du alle Winkel von 0° bis 360° findest: tan x = −1, quadratische Gleichungen in sin x oder cos x (eine braucht erst eine Umformung mit sin² x + cos² x = 1), eine Gleichung im Bogenmaß und ein Gleichungssystem mit x und y.
- Sinussatz, Kosinussatz und Aufgaben im RaumBerechne maßstäblich gezeichnete Dreiecke mit dem Sinussatz und dem Kosinussatz. Bestimme dann mit rechtwinkligen Dreiecken einen Winkel im Quader.
- Flächeninhalt von Dreiecken: Sinus, Heron und die KreiseBestimme den Flächeninhalt eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.
- Der Tangens: Graph, Definitionsmenge und PeriodeLies am Graphen von y = tan x ab: das Vorzeichen in jedem Quadranten, die Stellen, an denen er nicht definiert ist, seine Periode und die Lösungen von tan x = 1.
- Symmetrie und Rückführung auf spitze WinkelEntdecke, dass der Sinus punktsymmetrisch und der Kosinus achsensymmetrisch ist. Führe dann Winkel wie π + α oder π/2 + α auf einen spitzen Winkel zurück: Wann wechselt die Funktion, und welches Vorzeichen bekommt sie?
- Eigenschaften trigonometrischer FunktionenLies die Eigenschaften von Sinus, Kosinus und Kotangens an ihren Graphen ab: Periode, Symmetrie, Nullstellen, monotone Bereiche, Definitions- und Wertemenge.
- Allgemeine Lösungen trigonometrischer GleichungenDie Gerade y = b schneidet den Graphen von Sinus, Kosinus oder Tangens in unendlich vielen Punkten. Schreibe alle Lösungen als Formel mit n ∈ ℤ und verwirf bei einer Gleichung, die auf eine quadratische führt, die Lösung, die nicht vorkommen kann.
- Sinus, Kosinus und Tangens am EinheitskreisSinus und Kosinus an den Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis ablesen, Werte für stumpfe Winkel finden, Vorzeichen in allen vier Quadranten bestimmen und Winkel zu einem gegebenen Sinuswert angeben. Dazu gehört sin²α + cos²α = 1.
- Dreiecke berechnenBerechne ein Dreieck in vier Fällen: eine Seite und zwei Winkel, zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, drei Seiten sowie zwei Seiten mit einem Winkel, der einer von ihnen gegenüberliegt. Dazu kommen Aufgaben mit keiner, einer oder zwei Lösungen und die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt.
- Folgerungen aus dem KosinussatzDie Art eines Dreiecks an der längsten Seite erkennen (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig), die Diagonalen im Parallelogramm und eine Aufgabe, in der eine quadratische Gleichung eine Lösung liefert, die nicht passt.
- Kotangens, Identität und das rechtwinklige Dreieck lösenLerne den Kotangens und die Grundbeziehung zwischen Sinus und Kosinus, berechne rechtwinklige Dreiecke aus der Hypotenuse und einem Winkel oder aus zwei Katheten und löse Anwendungsaufgaben.
- Trigonometrische Ungleichungen und Auswahl von LösungenErkenne am Graphen, wo ein Sinus oder Kosinus größer oder kleiner als eine Zahl ist, und wähle die Lösungen einer Gleichung in einem vorgegebenen Intervall aus.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dVerändere Amplitude, Mittellinie, Periode und Verschiebung der Sinuskurve, lies die Verschiebung in der Klammer richtig und nutze das Modell für die Gezeiten.
Statistik
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- Daten sammeln, Strichlisten und PiktogrammeBefrage die Klasse, zähle mit einer Strichliste und zeichne ein Piktogramm.
- Balkendiagramme und LiniendiagrammeZeichne Balkendiagramme und Liniendiagramme aus einer Tabelle, lies sie ab und wähle das passende Diagramm.
- Strichlisten, Rechnen mit Strichen und Piktogramme mit ZehnernSortiere und zähle mit Strichlisten, addiere und subtrahiere mit Strichen und zeichne ein Piktogramm, in dem ein Bild für 10 steht.
- Kreisdiagramme und MittelwertLies und färbe Kreisdiagramme, finde den Mittelwert durch gleichmäßiges Verteilen und durch Addieren und Teilen, und unterscheide Zahlen von Wörtern als Daten.
- Mittelwerte und SpannweiteBestimme Zentralwert (Median), Modalwert, Mittelwert und Spannweite eines Datensatzes und entscheide, welcher Mittelwert die Daten am besten beschreibt.
- Ausreißer und der Vergleich zweier DatensätzeVergleiche die Standweitsprünge zweier Klassen mit einem Mittelwert und der Spannweite, ziehe einen Wert weit nach außen und beobachte, wie sich Mittelwert, Zentralwert und Spannweite verhalten. Entscheide dann, ob ein Ausreißer ein Fehler oder echt ist.
- Daten in Klassen einteilen, Histogramm und HäufigkeitspolygonOrdne die Körpergrößen von Schülerinnen und Schülern gleich breiten Klassen zu, vervollständige die Tabelle der absoluten und relativen Häufigkeiten, zeichne ein Histogramm mit aneinanderstoßenden Säulen und verbinde die Klassenmitten zu einem Häufigkeitspolygon.
- Mittelwert bei klassierten Daten und kumulierte HäufigkeitSchätze den Mittelwert klassierter Daten mit einer Spalte «Klassenmitte · Häufigkeit», fasse die Mittelwerte zweier Klassen richtig zusammen, bilde eine Spalte mit kumulierten Häufigkeiten samt Graph und lies den Zentralwert am Graphen ab.
- Zweidimensionale Daten und StreudiagrammeTrage Wertepaare ein, bestimme die Art der Daten, beschreibe die Korrelation, ziehe eine Ausgleichsgerade, lies Vorhersagen ab und unterscheide Korrelation von Ursache und Wirkung.
- Grundgesamtheit, Stichprobe und Daten erhebenZiehe zufällige Stichproben mit 10 und mit 50 Kindern aus einer Schule mit 600 Kindern und vergleiche sie mit der ganzen Schule. Erkenne eine verzerrte Stichprobe und wähle für jede Frage die passende Art, Daten zu erheben.
- Extra: mittlere absolute AbweichungSieh dir den Abstand jedes Punktes vom Mittelwert an, bilde den Durchschnitt dieser Abstände, finde heraus, warum Differenzen mit Vorzeichen immer null ergeben, und vergleiche zwei Datensätze nach ihrer Streuung.
- Quartile und BoxplotsTeile geordnete Daten in vier gleich große Teile, finde Q₁ und Q₃, trage die fünf Zahlen eines Boxplots ein und miss die mittlere Hälfte mit dem Quartilsabstand.
- Varianz, Standardabweichung und VariationskoeffizientMiss die Streuung mit den quadrierten Abständen vom Mittelwert: Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient, mit dem man Streuungen in verschiedenen Einheiten vergleicht.
- Form der Daten und NormalverteilungLies die Form eines Histogramms ab (symmetrisch oder schief), erkenne, wie die Schiefe den Mittelwert vom Median wegzieht, und nutze die σ-Regeln für glockenförmige Daten.
- Korrelation und RegressionsgeradeLies die Stärke einer Korrelation an r ab, finde den Mittelwertpunkt, lege die Regressionsgerade mit Steigung und y-Achsenabschnitt fest und sage innerhalb der Daten voraus.
- Stängel-Blätter-Diagramme und ZeitreihenSchreibe Daten in ein Stängel-Blätter-Diagramm und lies es ab. Zeichne dann eine Zeitreihe als Liniendiagramm und glätte sie mit einem gleitenden Durchschnitt.
- Ungleiche Klassen und zwei MerkmaleZeichne ein Histogramm mit verschieden breiten Klassen mithilfe der Häufigkeitsdichte, lies die Häufigkeit an einer Säule ab und lies zwei Merkmale derselben Gruppe in einem Streudiagramm.
- Armutsgrenze, Preisindex und InflationBestimme eine Armutsgrenze aus dem Median der Einkommen, berechne einen Preisindex und erkenne, was Inflation bewirkt.
- Trend, Interpolation und ExtrapolationLies Muster und Trend einer Zeitreihe ab und schätze Werte zwischen den Daten (Interpolation) und darüber hinaus (Extrapolation).
- Daten erheben, Maßstab und LiniendiagrammeZähle die Antworten einer Umfrage in einer Strichliste, wähle einen guten Maßstab für eine Diagrammachse und lies ein Liniendiagramm mit den Temperaturen von 12 Monaten ab.
- Prozent in Statistik und WahrscheinlichkeitSchreibe das Ergebnis einer Umfrage in Prozent, bestimme den Prozentsatz aus dem Winkel eines Kreisdiagramm-Sektors, zeichne ein Kreisdiagramm in Prozent und gib eine Wahrscheinlichkeit in Prozent an.
- Merkmalsarten, Datenerhebung und SchätzenUnterscheide qualitative und quantitative sowie diskrete und stetige Merkmale, ziehe eine geschichtete Stichprobe, finde die faire Fragebogenfrage und schätze einen Mittelwert aus einer Stichprobe.
- Datentabellen: lesen und ausfüllenLies eine einfache Tabelle, finde den größten Wert, berechne den Unterschied und fülle eine Tabelle aus Daten aus.
- Nach einem Merkmal sortierenSortiere Gegenstände nach Farbe und nach Form in Gruppen, zähle jede Gruppe und finde die größte.
- Fahrpläne und StundenpläneStundenpläne und Fahrpläne lesen: Wann endet eine Stunde, wie lang ist eine Pause oder eine Fahrt, welchen Zug nimmst du?
- Signifikanztest, Kovarianz und kleinste QuadrateEntscheide, bei wie vielen Würfen mit Kopf die Hypothese «faire Münze» nicht mehr plausibel ist, berechne Kovarianz und Korrelationskoeffizient für fünf Punkte und finde die Gerade mit der kleinsten Summe der Fehlerquadrate.
- Nach zwei Merkmalen sortieren (Vierfeldertafel)Sortiere Figuren nach zwei Merkmalen gleichzeitig in vier Gruppen, trage sie in eine Strichliste ein und lies aus der Tafel ab.
- Daten kritisch lesenVergleiche Gruppen, erkenne den Simpson-Effekt, beurteile Stichproben und unterscheide Prozent von Prozentpunkten sowie Korrelation von Ursache.
- Absolute und relative HäufigkeitEine Umfrage in einer Strichliste auswerten, relative Häufigkeiten als Bruch, Dezimalzahl und Prozent angeben und Gruppen verschiedener Größe vergleichen.
- Verzerrte DiagrammeDiagramme erkennen, die einen falschen Eindruck machen, zum Beispiel durch eine abgeschnittene Achse oder verschieden große Bilder, sie ehrlich zeichnen und Überschriften wählen, die zu den Daten passen.
- Irreführende Diagramme und StichprobenErkenne, wie eine abgeschnittene Achse ein Diagramm verändert, wähle ein Diagramm für eine Aussage, beurteile Stichproben auf Repräsentativität und vergleiche Kennwerte.
- Normalverteilung und σ-RegelnStelle μ und σ der Gauß-Kurve ein und nutze die σ-Regeln 68,3 %, 95,4 % und 99,7 %.
Wahrscheinlichkeit
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- Zufall: sicher, möglich, unmöglichPlättchen aus einem Beutel ziehen, ein Glücksrad drehen und würfeln. Sagen, ob ein Ereignis sicher, möglich oder unmöglich ist, und die Wahrscheinlichkeit als Bruch schreiben.
- Zufallsexperimente: relative Häufigkeit und theoretische WahrscheinlichkeitDrehe ein Glücksrad, wirf einen Kronkorken und würfle: 10-mal, 100-mal, 1000-mal. Sieh, wie sich die relative Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit nähert.
- Ergebnisraum, zusammengesetzte Ereignisse und GegenereignisSchreibe alle Ergebnisse von Münze und Glücksrad, zwei Münzen und zwei Würfeln auf. Finde die günstigen Felder in einer 6 · 6-Tafel und bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass etwas nicht eintritt, aus der Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt.
- Mengendiagramme, Ereignisse und VierfeldertafelOrdne eine Klasse mit 30 Kindern nach Fußball und Schach in einem Venn-Diagramm, übertrage dieselben Daten in eine Vierfeldertafel und zurück, sieh Ereignisse als Mengen und berechne «oder»-Wahrscheinlichkeiten mit der Additionsregel.
- Baumdiagramme, Zählprinzip und PfadregelnZeichne Baumdiagramme, um Kleidungskombinationen und Platzierungen zu zählen, schreibe Wahrscheinlichkeiten an die Äste, multipliziere entlang eines Pfades, addiere Pfade und sieh, was sich ändert, wenn eine Kugel nicht zurückgelegt wird.
- Regeln der Wahrscheinlichkeit, kontinuierliche Ergebnisse und erwartete AnzahlenAddiere die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen, die nicht gleichzeitig eintreten können, finde heraus, welche Listen Wahrscheinlichkeiten sein können, bestimme eine Wahrscheinlichkeit als Teil einer Länge und sage voraus, wie oft etwas eintritt.
- Bedingte WahrscheinlichkeitBerechne mit Vierfeldertafel, Mengendiagramm und Baumdiagramm die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn du ein anderes schon kennst, erkenne, warum es auf die Reihenfolge der Bedingung ankommt, und lerne abhängige Ereignisse kennen.
- Stochastische Unabhängigkeit und totale WahrscheinlichkeitPrüfe mit einer Vierfeldertafel, ob zwei Ereignisse stochastisch unabhängig sind, erkenne, warum sich ausschließende Ereignisse nicht unabhängig sind, und addiere die Pfade eines Baumdiagramms, um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu bestimmen, das auf mehreren Wegen entstehen kann.
- Zufallsgröße und ErwartungswertGib jedem Ergebnis zweier Würfel eine Zahl, finde die Wahrscheinlichkeiten dieser Zahlen, berechne den Mittelwert eines Würfels und entscheide, was ein Spiel pro Wurf wert ist.
- Ungleiche Chancen und Umkehrung des BaumdiagrammsGib jedem Ergebnis sein eigenes Gewicht und addiere. Lies dann ein Baumdiagramm von hinten: Eine defekte Schraube wurde gefunden. Von welcher Maschine stammt sie?
- Binomialverteilung und Poisson-VerteilungZähle die Pfade eines Baumdiagramms mit genau k Treffern, erkenne, woher die Formel der Binomialverteilung kommt, und lerne die Poisson-Formel für Ereignisse kennen, die zufällig eintreten.
- Die Normalverteilung und der z-WertMarkiere Abstände vom Erwartungswert in Standardabweichungen auf einer Zahlengeraden, nutze die Sigma-Regeln, berechne einen z-Wert und bestimme die Wahrscheinlichkeit an einem Rand der Glockenkurve.
- Stichprobenmittel, Stichprobenanteil und zentraler GrenzwertsatzErkenne, dass die Mittelwerte von Stichproben viel weniger streuen als einzelne Werte, bestimme den Standardfehler eines Mittelwerts und eines Anteils und nutze den zentralen Grenzwertsatz, um eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen.
- Varianz, geometrische Verteilung und die Ungleichung von TschebyscheffBerechne die Varianz aus einer Verteilungstabelle, bestimme die Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsgrößen, berechne die Wahrscheinlichkeit für «bis zum ersten Treffer» und schätze eine Abweichung mit der Ungleichung von Tschebyscheff ab.
- Geometrische Wahrscheinlichkeit, Dichte und stetige ZufallsgrößenBestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Punkt in einem Teil einer Figur, einer Strecke oder eines Kreisbogens landet, als Verhältnis von Maßen, verstehe die Dichte und lerne die Gleichverteilung und die Exponentialverteilung kennen.
- Wahrscheinlichkeit und KombinatorikBestimme die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit P(A) = m : n, wenn du die Ergebnisse einer Auswahl mit dem Binomialkoeffizienten «n über k» und mit dem Zählprinzip abzählst.
- Näherung von π mit Zufallspunkten und StreifenZähle Zufallspunkte im Viertelkreis, um π zu schätzen, erkenne, wie die Streuung mit mehr Punkten abnimmt, und vergleiche mit der Streifenmethode.
- Einseitiger SignifikanztestFormuliere H₀, bestimme den Ablehnungsbereich zum Signifikanzniveau 5 %, beurteile den Fehler 1. Art und deute das Ergebnis richtig.
Mengen und Logik
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- Mengen: Elemente, Teilmengen, Vereinigung, Schnitt und KomplementSortiere Zahlenkarten in die Ovale eines Venn-Diagramms, schreibe Mengen in Mengenklammern, schraffiere Vereinigung, Schnitt und Differenz und zähle mit dem Diagramm.
- Anordnungen und Auswahlen: Permutationen und KombinationenLass das Baumdiagramm der Anordnungen wachsen, um zu zählen, wer Gold und Silber gewinnen kann, stelle Freunde in eine Reihe und sieh, warum eine Gruppe von Personen seltener gezählt wird als eine Anordnung.
- Der binomische Lehrsatz und das Pascalsche DreieckSieh (a + b)³ als drei Klammern und zähle die Pfade, die zu jedem Term gehören, lies die Koeffizienten am Pascalschen Dreieck ab und nutze sie für Entwicklungen mit Zahlen.
- Zählen ohne Doppelzählung und das SchubfachprinzipZähle die Kinder in zwei AGs, ohne die in beiden doppelt zu zählen, zähle die Vielfachen von 2 oder 3 und nutze das Schubfachprinzip, um sicher zu sein, dass zwei Dinge in einem Fach liegen.
- Aussageformen, Teilmengen und MengengesetzeUnterscheide Aussagen und Aussageformen, bilde die Lösungsmenge einer Aussageform, zähle Teilmengen und prüfe das Distributivgesetz und das Absorptionsgesetz am Venn-Diagramm.
- Aussagen, und, oder, nicht und wenn … dannEntscheide, welche Sätze Aussagen sind, nutze und, oder und nicht richtig, prüfe ein Versprechen „wenn … dann …“ und finde die Kontraposition.
- Quantoren, gültige Schlüsse und die Regeln von De MorganVerneine „alle“, zeichne „jedes Vielfache von 6 ist ein Vielfaches von 3“, unterscheide gültige und ungültige Schlüsse und nutze die De-Morgan-Regeln für Mengen.
- Beweisen: direkt, mit Fallunterscheidung, durch Widerspruch und durch InduktionBeweise mit Algebra, dass ungerade + ungerade gerade ist, prüfe eine Behauptung durch Fallunterscheidung, zeige durch Widerspruch, dass es keine größte gerade Zahl gibt, und mache den Induktionsschritt für die ungeraden Zahlen.
- Geordnete Paare, Relationen und ÄquivalenzMarkiere A · B als Punkte, wähle eine Relation aus, kehre sie um und sieh, warum „gleicher Rest“ eine Äquivalenzrelation ist.
- Zählen mit gleichen Elementen: Anordnungen, Gruppen und Sterne-und-StricheOrdne gleichfarbige Kugeln in einer Reihe an, zähle Codes mit wiederholten Ziffern, verteile Schülerinnen und Schüler auf Zimmer und zähle Blumensträuße mit der Sterne-und-Striche-Methode.
- Beschreibende Mengenschreibweise und unendliche MengenKenne die Zahlenmengen ℕ, ℤ, ℚ und ℝ, liste die Elemente einer Menge aus ihrer Bedingung auf, schreibe die Bedingung zu einer Menge und sieh, warum es „gleich viele“ gerade und natürliche Zahlen gibt.
- Binomialkoeffizienten, das Pascalsche Dreieck und Beweisen durch ZählenTeile Gruppen von Freundinnen und Freunden in zwei Arten, beweise die Pascal-Regel durch Zählen und sieh, warum jede Zeile eine Zweierpotenz als Summe hat.
- Graphen: Ecken, Kanten und GradLies einen Graphen ab: Bestimme den Grad jeder Ecke, vergleiche die Summe der Grade mit der Anzahl der Kanten und erkenne, warum manche Graphen nicht existieren können.
- Graphen: dominierende MengenPlatziere Stationen so, dass jeder Punkt der Karte abgedeckt ist, und finde die kleinste Anzahl, die genügt: die Dominierungszahl des Graphen.
- Summenregel, Produktregel, Fakultät und BinomialkoeffizientUnterscheide die Summenregel von der Produktregel, nutze die Formeln für Permutationen, geordnete und ungeordnete Auswahlen und löse eine Gleichung mit Fakultäten.
- Kombinatorische Aufgaben: Auflisten, Baumdiagramm und ZählprinzipFinde alle Möglichkeiten, drei Mädchen auf Stockwerke zu verteilen, lass ein Baumdiagramm wachsen und finde heraus, warum man die Anzahl durch Multiplizieren erhält.
- Die Summenregel und die ProduktregelAuf wie viele Arten kann man „a oder b“ und „a und b“ wählen: Summenregel, Produktregel, Paare (a; b), ein Wegeschema und Aufgaben mit Ziffern.
- Wahr oder falschLies Aussagen über das Obst mit den Wörtern „alle“, „jeder“ und „es gibt“ und entscheide, ob sie wahr sind.
- Wenn ..., dann ...Streiche Zahlen mithilfe von Hinweisen durch, ziehe Schlüsse aus «Wenn ..., dann ...»-Regeln und baue Schlussketten.
Komplexe Zahlen
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- Komplexe Zahlen: i, Addieren, Multiplizieren, DividierenLerne die Zahl i mit i² = –1 kennen, addiere komplexe Zahlen als Punkte der Ebene, multipliziere sie wie Klammern und dividiere mit der konjugierten Zahl.
- Quadratische Gleichungen mit komplexen LösungenErkenne, warum x² + 4x + 13 = 0 keine reellen Lösungen hat, löse Gleichungen mit komplexen Lösungen, zeichne sie in die Zahlenebene und finde die fehlende Nullstelle einer Gleichung dritten Grades.
- Gaußsche Zahlenebene: Betrag, Argument und DrehungLies komplexe Zahlen als Punkte der Gaußschen Zahlenebene ab, bestimme Betrag und Argument, spiegle an der reellen Achse und multipliziere durch Drehen und Strecken.
- Potenzen, Wurzeln und Kreise in der ZahlenebeneNutze e^(iφ) als Punkt auf dem Einheitskreis, potenziere mit dem Satz von Moivre, bestimme die vier Wurzeln einer Zahl als Quadrat und zeichne einen Kreis mit |z – c| = r.
Matrizen
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- Matrizen: Format, Einträge und besondere MatrizenLies eine Matrix wie eine Tabelle: Finde einen Eintrag über Zeile und Spalte, gib ihr Format an und baue die Nullmatrix, die Einheitsmatrix und die Diagonalmatrix.
- Matrizen addieren, vervielfachen, multiplizieren und transponierenAddiere und subtrahiere Matrizen gleichen Formats, multipliziere mit einer Zahl, multipliziere Zeile mal Spalte und mache aus Zeilen Spalten.
- DeterminantenBerechne Determinanten von 2 · 2- und 3 · 3-Matrizen, finde heraus, was das Vertauschen von Zeilen bewirkt, und sieh, wie die Determinante Flächeninhalte verändert.
- Inverse Matrizen und Gleichungssysteme lösenFinde die inverse Matrix einer 2 · 2-Matrix mit der Determinante, bestimme eine 3 · 3-Inverse mit Zeilenumformungen und löse damit ein Gleichungssystem.
- Cramersche Regel und Gauß-VerfahrenLöse ein Gleichungssystem mit Determinanten (Cramer) und dann mit Zeilenumformungen (Gauß) und sieh, warum eine Determinante null zu parallelen Geraden gehört.
- Matrizen als AbbildungenEine Matrix bewegt die Punkte der Ebene: Wende sie auf einen Punkt an, baue sie aus den Bildern der Einheitsvektoren und finde die Punkte, die sie festlässt.
Analysis
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- Grenzwerte: Annäherung an eine ZahlFülle eine Wertetabelle nahe einer Stelle aus, an der die Funktion nicht definiert ist, lies den Grenzwert am Graphen ab und erkenne, warum linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen müssen.
- Grenzwerte berechnen: Grenzwertsätze, 0 durch 0 und SinusBestimme Grenzwerte von Summen und Produkten aus Graphen, löse die Form 0 durch 0 durch Faktorisieren und Kürzen und lerne den Grenzwert des Sinus kennen.
- Unendliche Grenzwerte und Grenzwerte im UnendlichenErkenne, warum 1x2 nahe null riesig wird, zeichne eine waagrechte Asymptote und löse die Formen ∞ : ∞ und ∞ − ∞ auf.
- Stetigkeit und ÄnderungsrateErkenne, wann du einen Graphen zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen, bestimme das k, das eine Funktion stetig macht, und verkleinere eine mittlere Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate.
- Von der Sekante zur Tangente: Was ist eine Ableitung?Schiebe einen Punkt Q auf dem Graphen auf P zu, beobachte in einer Tabelle, wie sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung nähert, zeichne die Tangente und sieh, warum eine Ecke keine Ableitung hat.
- Die AbleitungsregelnWende Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel an einer Stelle an und prüfe sie an Tangenten im Graphen.
- Ableitungen von Sinus, Exponentialfunktion, Logarithmus und UmkehrfunktionPrüfe die Ableitung von sin x nahe null, zeichne die Tangente an ex, nutze ln x als Spiegelbild von ex, um seine Ableitung zu finden, und übertrage die Umkehrregel auf arctan.
- Implizite, parametrische und zweite Ableitung, gekoppelte ÄnderungsratenBestimme die Steigung eines Kreises an einem Punkt durch implizites Differenzieren, die Steigung einer Parameterkurve, eine zweite Ableitung und die Änderung einer Fläche bei wachsender Seitenlänge.
- Tangentengleichung und Extremwerte auf einem IntervallStelle die Tangentengleichung mit y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀) auf, finde eine Tangente parallel zu einer Geraden und eine durch einen Punkt außerhalb der Kurve und bestimme dann den größten und kleinsten Funktionswert auf [a;b].
- Das Vorzeichen der Ableitung und die Form des GraphenBestimme mit dem Vorzeichen von f′(x), wo ein Graph steigt und fällt, setze die Extrempunkte, finde den Wendepunkt mit f″(x) und berechne einen Maximalwert.
- Rolle, l'Hospital und Maclaurin-ReiheFinde, wo die Tangente waagrecht ist, bestimme die Stelle des Mittelwertsatzes, berechne einen 0-durch-0-Grenzwert mit Ableitungen und finde einen Koeffizienten der Maclaurin-Reihe von cosh x.
- Flächen abschätzen: Ober- und Untersummen und TrapezregelSchätze den Flächeninhalt unter y = x² mit schmalen Rechtecken und mit Trapezen ab und sieh, welcher Zahl sich die Schätzwerte nähern, wenn die Streifen schmaler werden.
- Von der Stammfunktion zum bestimmten IntegralFinde Stammfunktionen und verstehe, warum +C nötig ist, berechne bestimmte Integrale mit F(b) − F(a), bestimme Mittelwerte und Flächeninhalte und lerne das Integral von 1x kennen.
- IntegrationsmethodenSubstituiere und passe die Grenzen mit an, integriere partiell, zerlege Brüche in Partialbrüche, wähle eine trigonometrische Substitution und entscheide, ob ein uneigentliches Integral einen Wert hat.
- Flächen und Volumina mit dem IntegralBerechne mit dem bestimmtes Integral den Flächeninhalt unter einer Kurve und zwischen zwei Kurven sowie das Volumen eines Rotationskörpers.
- DifferentialgleichungenSchreibe eine Änderungsrate als Differentialgleichung, finde die Lösung y = Cekx im Graphen und löse eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit einer Anfangsbedingung.
- Kurvendiskussion und ExtremwertaufgabenFinde die wichtigen Punkte eines Graphen und nutze ein Maximum, um Aufgaben wie den größten Flächeninhalt oder das größte Volumen zu lösen.
- Ein Untersuchungsplan für das Skizzieren eines GraphenUntersuche eine Funktion nach einem Plan: Definitionsmenge, Symmetrie, Nullstellen, Monotonie, Extrempunkte, und markiere dann die wichtigen Punkte des Graphen.
- Das MonotonieschemaTrage aus den Vorzeichen der Ableitung in jedem Abschnitt mit Pfeilen ein, wo die Funktion steigt ↗ und fällt ↘, und finde die Extrempunkte.
- Vom Graphen von f zum Graphen von f′Bestimme die Nullstellen von f′, lies f′ aus dem Graphen von f ab und finde die Wendestelle als Extremum von f′ sowie den Zeitpunkt des stärksten Wachstums.
- Integralfunktion und HauptsatzBilanziere Flächen bis zur Stelle x, finde Extrema der Integralfunktion und rechne mit J(x) = F(x) − F(a).
Sachaufgaben und Problemlösen
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- Sachaufgaben lösen: eine Skizze zeichnenDie Aufgabe lesen. Sagen, was gegeben ist und was gesucht wird. Eine Skizze zeichnen, rechnen und einen Antwortsatz schreiben.
- Sachaufgaben lösen: Gleichungen mit PlatzhalterEine Geschichte in eine Gleichung übersetzen. Ein Kästchen □ steht dort, wo die gesuchte Zahl hingehört. Dann findest du sie mit der Umkehraufgabe.
- Sachaufgaben lösen: Tabelle, Muster, Ausschließen, ProbierenVier Wege, eine Aufgabe zu lösen: alle Fälle der Reihe nach auflisten, das Muster finden, Unmögliches durchstreichen und probieren, prüfen und verbessern.
- Sachaufgaben lösen: Teilaufgaben, einfachere Zahlen und systematische ListenEine große Aufgabe in Schritte zerlegen, zuerst eine einfachere Aufgabe lösen, alle Fälle der Reihe nach auflisten und selbst eine Strategie wählen.
- Problemlösen: Strategien in Klasse 7Übe das systematische Auflisten, Teilprobleme und einfachere Aufgaben an Sachaufgaben mit Geld und größeren Zahlen.
- Sachaufgaben lösen: Gewinn und ausreichende AngabenDen Gewinn eines Kiosks mit einer Tabelle bestimmen und entscheiden, welche Zahlen eine Aufgabe braucht, welche nicht und wann eine Zahl fehlt.
- Sachaufgaben: Gegeben, Gesucht, Rechnung und AntwortDie Angaben kurz aufschreiben, eine Rechnung aufstellen, die Aufgabe in einem oder zwei Schritten lösen und einen Antwortsatz schreiben.
- Aufgaben: «mal so viele», «wie viele mehr», UmkehraufgabeDu vervielfachst Zahlen, vergleichst sie mit «Wievielmal?», löst Aufgaben mit «weniger» und Umkehraufgaben.
- Tabellenaufgaben: Einzelpreis, Anzahl, GesamtpreisDie Angaben als Tabelle mit Einzelpreis, Anzahl und Gesamtpreis aufschreiben und Aufgaben zur Summe, zum Unterschied und zum Vielfachen von zwei Einkäufen lösen.
- Zusammengesetzte SachaufgabenUnterscheide einfache und zusammengesetzte Sachaufgaben und schreibe den Rechenweg in Schritten und als einen Term mit Klammern.
- Zusammengesetzte Sachaufgaben mit Mal und GeteiltDu löst zusammengesetzte Sachaufgaben: Restaufgaben, Summe und Differenz von Produkten, «mal so viel» und «so viel weniger».
- Aufgaben vergleichen: Was hat sich geändert?Vergleiche zwei verwandte Sachaufgaben, sage voraus, wie sich die Rechnung ändert, und löse die veränderte Aufgabe.
- Gegeben, Rechnung, AntwortSchreibe eine Textaufgabe so auf wie im Heft: Gegeben, Gesucht, Rechnung (mit Zwischenfragen oder als ein Term) und Antwortsatz.
- Anweisungen und AlgorithmenFühre Anweisungen Schritt für Schritt aus, lass eine Rechenmaschine arbeiten und bringe die Schritte eines Plans in die richtige Reihenfolge.
- Verbrauch und VeränderungLöse Sachaufgaben zum Verbrauch pro Tag («Verbrauch pro Tag · Anzahl der Tage») und zur Veränderung einer Menge («vorher – nachher») in Schritten und schreibe einen Antwortsatz.
- Fermi-Aufgaben: Überschlag oder genau?Große Anzahlen in Schritten schätzen, mit Bezugsgrößen arbeiten, überschlagen und entscheiden, wann ein genaues Ergebnis nötig ist.