الحل العام للمعادلات المثلثية

هذا الموضوع ليس في الكتب السورية، لكنه مفيد لمن سيتابع الرياضيات في المرحلة الثانوية. نحلّ المعادلة cos x = b من المخطط: يقطع المستقيم y = b مخطط تجيب الزاوية عندما |b| ≤ ١. المحور x يبيّن أعدادًا عادية، فنأخذ π ≈ ٣٫١٤.

من أجل cos x = b مع |b| ≤ ١، إذا كانت α زاوية في [٠,π] تحقق cosα = b فالحلول x = ±α + ٢nπ حيث n ∈ ℤ (في الكتب كثيرًا ما يُكتب الحرف k بدل n). الحالات الخاصة cos x = ٠ وcos x = ١ وcos x = −١ تُكتب بلا ±.

من أجل sin x = b إذا كانت α زاوية في [ − π/٢,π/٢] تحقق sinα = b فلدينا مجموعتا حلول: x = α + ٢nπ وx = π − α + ٢nπ. ويمكن كتابتهما بصيغة واحدة: x = (−١)ⁿα + nπ. ومن أجل tan x = b الحل x = α + nπ حيث α زاوية ظلها b؛ وكذلك cot x = b لظل التمام.

إذا آلت المعادلة إلى معادلة تربيعية بدلالة sin x أو cos x فنضع t = sin x ونوجد قيم t؛ ويجب أن تكون كل قيمة في [ − ١,١] وإلا فلا حل.