قابلية القسمة في الأعداد الصحيحة

نقول إن a تقبل القسمة على b، أو إن b يقسم a، عندما يوجد عدد صحيح q بحيث a = bq. ونكتب ذلك b|a. مثلًا ٧|٢١ لأن ٢١ = ٧×٣. (القاسم المشترك الأكبر في الصف التاسع، كتاب الجبر؛ أما خوارزمية القسمة وبيزو فليستا بهذا الشكل في الكتب السورية، لكنهما مفيدتان.)

إذا لم تقبل a القسمة على b يبقى باقٍ. لأي عددين صحيحين a و⁦b (b ≠ ٠)⁩ يوجد ناتج قسمة واحد q وباقٍ واحد r فقط بحيث a = bq + r وr لا يقل عن صفر وهو أصغر من b. هذه هي خوارزمية القسمة.

إذا كان b يقسم a ويقسم c، فهو يقسم كل عدد من الشكل ⁦ax + cy (x⁩ وy عددان صحيحان كيفيان). فـ b يقسم التركيب الخطي للعددين.

بالرجوع من خطوات خوارزمية إقليدس يمكن كتابة القاسم المشترك الأكبر لعددين على الشكل ax + by. والعكس مهم أيضًا: المعادلة ax + by = c في الأعداد الصحيحة لها حلّ فقط إذا كان القاسم المشترك الأكبر للعددين a وb يقسم c.

في كل خطوة اعمل على ورقة القسمة أو في خانة الجواب؛ وإذا تعثّرت فاقرأ التلميح.