البرهان بالخلف

هذا الموضوع ليس في الكتب السورية بهذا الاسم، لكنه مفيد لكل من يتعلم البرهان في الهندسة. نبرهن المبرهنة بالخلف هكذا: نفرض أولًا أن المطلوب إثباته غير صحيح («لنفرض أن الأمر ليس كذلك»). ثم نستنتج من هذا الفرض، بتسلسل منطقي، شيئًا يناقض مسلّمة أو مبرهنة سابقة أو معطيات المسألة («وصلنا إلى تناقض»).

النتيجة: فرضنا كان خاطئًا، فالمبرهنة صحيحة. مثال: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث متوازيان. نفرض أن a عمودي على c وأن b عمودي على c، لكن a وb يتقاطعان في نقطة M. عندئذ يمرّ من M مستقيمان كلاهما عمودي على c. وهذا يناقض أنه من نقطة واحدة يمرّ مستقيم واحد فقط عمودي على مستقيم معلوم.

وبالطريقة نفسها نبرهن أن مستقيمين موازيين لمستقيم ثالث متوازيان (تناقض مع مسلّمة التوازي: من نقطة خارج مستقيم يمرّ موازٍ واحد فقط له)، وأن نصف القطر عند نقطة التماس يعامد المماس (لو كان OM هو العمود لكان أطول من المائل OA).