الاتصال والمسارات والدورات ورسم البيان

هذه الورشة إضافية وليست في الكتب السورية. بعد أن عرفنا الرأس والضلع والدرجة نتعلّم هنا: «المسار» وهو عدة أضلاع متتالية يبدأ كل منها حيث انتهى السابق، و«الدورة» وهي مسار يعود إلى نقطة بدايته، و«الاتصال»: يكون البيان متصلًا إذا وُجد مسار بين أيّ رأسين فيه. كل بيان يتفكك إلى «مركّبات متصلة».

«مسار أويلر» يمرّ بكل ضلع مرة واحدة بالضبط. يوجد هذا المسار إذا كان البيان متصلًا وفيه صفر أو رأسان فرديان. إذا لم يوجد رأس فردي عدنا إلى نقطة البداية، وإذا وُجد رأسان بدأنا من أحدهما وانتهينا في الآخر. بهذا نحلّ مسألة جسور كونيغسبرغ (فيها أربعة رؤوس فردية) ومسألة «هل يمكن رسم الشكل دون رفع القلم؟».

أخطاء شائعة: ألّا نعدّ الرأس المعزول مركّبة قائمة بذاتها، وأن نعدّ الرؤوس بدل الأضلاع عند حساب الدرجة، وأن نظنّ أن كل شكل يمكن رسمه بخط واحد.