نشر ذي الحدين للأسّ الكسري والتقريب

هذا الموضوع ليس في الكتب السورية بهذا الشكل: يُدرَس منشور ذي الحدين للأسّ الطبيعي في الصف الثاني عشر العلمي (التحليل التوافقي)، أما الأسّ الكسري أو السالب فهو إضافة مفيدة، وتقترب فكرتها من التقريب التآلفي المحلي في الصف الحادي عشر العلمي. تعرف النشر للأسس الطبيعية: (١ + x)^٣ = ١ + ٣x + ٣x^٢ + x^٣. وتصلح الصيغة نفسها حين يكون الأسّ n كسرًا أو سالبًا، لكنّ النشر هذه المرة لا ينتهي أبدًا.

(١ + x)ⁿ = ١ + nx + n(n − ١)٢!x^٢ + …. وعندما يكون x صغيرًا يكون x^٢ أصغر بكثير من x؛ لذلك تعطي أول حدود قليلة جوابًا قريبًا.

مثال: √١٫٠٤ = (١ + ٠٫٠٤)^١٢ ≈ ١ + ٠٫٠٤٢ = ١٫٠٢. بحدّين فقط يقترب الجواب: ١٫٠٢.

قاعدة: عندما لا يكون n عددًا طبيعيًا يصح النشر فقط من أجل |x| < ١. ضع النقطة على مكانها الصحيح على مستقيم الأعداد، واكتب المعامل، وارسم مجال صحة النشر.