المستكشف
كل المختبرات، من الأسهل إلى الأصعب.
الأعداد والقيمة المنزلية
٤٧
- العد والمقارنة حتى ١٠ضع تفاحة مقابل كل مكان، وعُدّ وقارن. ثم تعرّف على الإشارات <، > و=.
- الأعداد حتى ٢٠: عشرة وبعض الآحاداقرأ الأعداد من ١٠ إلى ٢٠ وابنِها بإطارَي عشرة. واحد أكثر، والعدد الذي بين عددين، والأول والثاني والثالث.
- مستقيم الأعداد والعد التجاوزيجد الأعداد على مستقيم الأعداد، وعُدّ اثنين اثنين وخمسة خمسة وعشرة عشرة، وتعرّف الأعداد الزوجية والفردية.
- العشرات والآحاد: الأعداد حتى ١٠٠اجمع عشرة آحاد في عشرة واحدة. ابنِ الأعداد حتى ١٠٠ واقرأها بالعشرات والآحاد.
- المئات والآلاف: قيمة المنزلة والصيغة التفصيليةابنِ الأعداد حتى ١٠٠٠٠ بالمكعبات واقرأها واكتبها، واكتبها بالصيغة التفصيلية، ثم قارن بين عددين بدءاً من أعلى منزلة.
- الأعداد الكبيرة والتقريب والتقديراقرأ الأعداد بالملايين وابنِها ثلاثة أرقام ثلاثة أرقام، وقرّب إلى أقرب ١٠ أو ١٠٠ أو ١٠٠٠ بالنظر إلى المنزلة التالية، وقدّر ناتج الجمع قبل أن تحسبه.
- التقريب والحساب التقريبيقرّب الأعداد إلى أقرب عشرة وأقرب مئة، وخمّن ناتج الجمع والطرح دون حساب دقيق.
- الأعداد السالبة والأعداد الصحيحةمدّ مستقيم الأعداد إلى يسار الصفر. مثّل درجات الحرارة تحت الصفر والأعماق تحت سطح البحر، ثم اجمع واطرح بالقفزات.
- تقريب الأعداد العشريةكبّر المسافة بين جارَي العدد وانظر أيهما أقرب: إلى أقرب عدد طبيعي، وإلى أقرب عُشر، وإلى أقرب جزء من مئة. ثم جد كل الأعداد التي تُقرَّب إلى القيمة نفسها.
- القواسم والمضاعفات والأعداد الأوليةرتّب القطع على شكل مستطيلات لتجد قواسم عدد. واكتشف لماذا تصنع بعض الأعداد مستطيلاً واحداً فقط.
- قابلية القسمة والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر والقوىلوّن المضاعفات على لوحة المئة لتكتشف قواعد قابلية القسمة. ثم المضاعفات والقواسم المشتركة، والمربعات الكاملة والقوى.
- ضرب الأعداد الصحيحة وقسمتها، والقيمة المطلقةاضرب الأعداد السالبة واقسمها بقفزات على مستقيم الأعداد، واكتشف النمط وراء الإشارات، وقِس البعد عن الصفر.
- الأعداد العادية: الترتيب والعمليات الأربعضع الكسور والأعداد العشرية السالبة على مستقيم أعداد واحد، وقارن بينها، ثم اجمعها واضربها بالانتقال على المستقيم وبالتكبير والتصغير.
- غربال الأعداد الأوليةاكتب الأعداد من ١ إلى ٥٠ واشطب المضاعفات حتى تبقى الأعداد الأولية فقط. ثم اعرف إلى أي عدد يجب أن تغربل.
- طرح عدد سالبحوّل كل طرح إلى جمع، وانظر إلى طرح العدد السالب على محور الأعداد، واحسب الجمع والطرح لعددين من منزلتين بفصل الآحاد عن العشرات.
- قوة العدد السالب والنمو بالمضاعفةاحترم أولوية العمليات مع القوى، وافهم الفرق بين (−٣)² و−٣²، وانظر لماذا تصل المضاعفة المتكررة سريعًا إلى أعداد كبيرة.
- العوامل الأولية، والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، والجذورحلّل عددين إلى عوامل أولية بشجرة القواسم. ابنِ منها القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، وجد الجذر التربيعي والجذر التكعيبي بجمع العوامل أزواجاً وثلاثيات.
- قواعد القوى، والأس صفر والأس السالباكتب القوى على شكل جداء عوامل على خط كسر: للضرب ضع العوامل معاً، وللقسمة اشطب العوامل المتساوية في الأعلى والأسفل، واكتشف لماذا a٠ = ١ ولماذا يعني الأس السالب كسراً.
- قسمة الأعداد النسبيةجد مقلوب عدد نسبي، وحوّل قسمة الأعداد النسبية ذات الإشارات إلى ضرب. وانظر لماذا لا معنى للقسمة على الصفر.
- الجذر النوني والقوى الكسريةتعرّف الجذر النوني بالقوى: الجذر الزوجي والفردي، وجداء الجذور، ثم القوى الكسرية مثل ٢٧١٣ و ٨٢٣.
- الصيغة المعياريةانقل الأرقام بالزرين ÷١٠ و×١٠ حتى يبقى رقم واحد غير الصفر على يسار الفاصلة العشرية، وشاهد قوة العشرة وهي تعدّ مرات النقل.
- تقريب الجذور التربيعية والأعداد الحقيقية على المستقيماحصر جذراً تربيعياً بين عددين طبيعيين، واقترب منه حتى الأعشار والأجزاء من المئة بالتربيع، وافصل الأعداد العادية عن غير العادية على مستقيم الأعداد الحقيقية.
- الجذور الصمّاء وتبسيطهاحلّل العدد تحت الجذر إلى عوامل وأخرج كل زوج: √١٢ = ٢√٣. اضرب الجذور، واجمع الجذور المتشابهة، وأزل الجذر من المقام.
- طريقة إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبرجد القاسم المشترك الأكبر لعددين بسلسلة من القسمات، من دون أن تكتب قواسمهما.
- القيمة المطلقة للأعداد الحقيقية والحساب التقريبيانظر إلى القيمة المطلقة على أنها البعد عن الصفر، وميّز حالات a الثلاث (موجب وصفر وسالب)، وقارن القيمة المطلقة للمجموع بمجموع القيمتين المطلقتين، واحسب بالجذور التقريبية.
- خواص الجذر والقوى الكسرية والمعادلات الجذريةأوجد جذر خارج القسمة وجذر الجذر، وقارن جذورًا بأدلّة مختلفة، وحلّ معادلة جذرية بالتربيع والتحقق من الشرط والتعويض.
- الأعداد بالحروف: عشرات الآلاف ومئات الآلاف والمليارابنِ الأعداد الكبيرة واقرأها: الأعداد من خمس منازل، والمئة ألف، والأعداد بعد المليون.
- استخراج الجذور: الجذر التربيعي والتكعيبي وإشارتاهماعُدّ كم عددًا مربعه عدد موجب، وافهم لماذا لا معنى للجذر التربيعي لعدد سالب بينما للجذر التكعيبي معنى، وانظر لماذا الجذر التربيعي لمربع عدد هو قيمته المطلقة.
- تقريب الأعداد على المحورجد العدد على محور الأعداد وانظر إلى أي عشرة أو مئة أو ألف هو أقرب. والعدد الذي في المنتصف نقرّبه إلى الأكبر.
- الأعداد بالكلماتكوّن الأعداد من منزلتين وثلاث منازل من العشرات والآحاد، واقرأها واكتبها بالكلمات.
- قابلية القسمة في الأعداد الصحيحةخوارزمية القسمة، وخواص قابلية القسمة، وكتابة القاسم المشترك الأكبر لعددين على شكل تركيب من العددين نفسيهما.
- جدول الأعداد والعدّ التجاوزيتقدّم على جدول الأعداد ثلاثة ثلاثة، وأربعة أربعة، وستة ستة، وسبعة سبعة، وانظر بالأعمدة إلى الجمع المتكرر.
- التطابق في الأعداد الصحيحةالأعداد التي لها الباقي نفسه عند القسمة على عدد معيّن «متطابقة». انظر كيف نحسب بها.
- المنزلة العشرية للأعداد العشريةاكتب العدد العشري واقرأه في جدول المنازل بأعمدة الآحاد والأعشار والأجزاء من مئة، وابنِه بالصيغة المفكوكة وقارن بين الأعداد.
- التقريب: التدوير والحذفقرّب عددًا إلى أقرب ١٠ أو ١٠٠ أو ١ أو ٠٫١ بطريقتين: «التقريب إلى الأقرب» و«الحذف». وميّز أيهما قُرّب، وقرّب كسرًا، وقدّر الجداء.
- القيم التقريبية والخطأأوجد الخطأ المطلق والخطأ النسبي، وقارن دقة القياسات، وحدّد خطأ المجموع.
- تكوين الأعداد من ٦ إلى ٩ والصفرقسّم الأعداد ٦ و٧ و٨ و٩ بالخرزات إلى جزأين. ثم انظر ماذا يحدث إذا أخذنا كل شيء أو لم نأخذ شيئًا.
- بطاقة التحليل والأشرطةاكتب الجزأين اللذين يكوّنان العدد ٦، وابنِ شريطًا من ٧ خانات.
- خواص الجذر التربيعيأوجد الجذر التربيعي للمربعات والجداءات والأقسام والقوى باستعمال خواص الجذر التربيعي.
- متتالية الأعداد الطبيعية ونصف المستقيم العدديجد العدد الذي قبل عدد معطى، وافهم لماذا لا يوجد أكبر عدد طبيعي، وعيّن النقطة K(٥) على نصف المستقيم العددي، واقرأ مقياسًا.
- القسمة مع الباقي والقابلية للقسمة على ٩ و٣افهم لماذا الباقي أصغر من المقسوم عليه، وابنِ المقسوم بالعلاقة a = bq + r، واختبر القابلية للقسمة على ٩ و٣ بمجموع الأرقام.
- الجذور المتداخلة: √(a ± ٢√b)تخلّص من جذر داخل جذر: اكتب العبارة على شكل مربع مجموع أو مربع فرق، وأوجد العددين من مجموعهما وجدائهما.
- مقارنة الأعداد الكبيرة وترتيبهاقارن أعدادًا حتى المليون منزلةً منزلة، ورتّبها، وأضف آلافًا كاملة.
- الأعداد الثنائية والأرقام الرومانيةاقرأ الأعداد الثنائية واكتبها بقيم المنازل ١ و٢ و٤ و٨ و١٦، وقارن الأرقام الرومانية بنظامنا العشري.
- المسافة بين نقطتين والمعادلات بالقيمة المطلقةأوجد المسافة بين نقطتين على مستقيم الأعداد بالصيغة |a − b|، وحلّ المعادلات |x − a| = b بتعليم النقاط.
- قابلية القسمة للمجاميع والفروق والجداءات، وقواعد القسمة على ٤ و٨ و٦ و١١قرّر هل المجموع أو الفرق أو الجداء يقبل القسمة دون أن تحسبه، واستعمل قواعد القسمة على ٤ و٨ و٦ و١١.
- طريقة هيرون والأعداد غير النسبيةقرّب جذرًا تربيعيًّا بطريقة هيرون (مستطيل يقترب من أن يصير مربعًا)، ثم تعرّف لماذا ليس √٢ كسرًا.
العمليات الحسابية
٣٠
- الجمع والطرح حتى ١٠ضع التفاح معاً، وانزع بعضه، وقارن. ثم اصنع ١٠ من عددين.
- الجمع والطرح حتى ٢٠: عبور العشرةاملأ العشرة أولاً، ثم ضع الباقي. اجمع ثلاثة أعداد، وبدّل مكاني العددين، وجد الجمل الأربع في عائلة واحدة.
- الجمع والطرح ذهنياً بالقفزاتمثّل كل جمع وطرح بقفزات على مستقيم الأعداد: العشرات أولاً ثم الآحاد، أو إلى العشرة التالية أولاً.
- الضرب والقسمة بالمجموعات المتساويةضع التفاح في مجموعات متساوية، ورتّب القطع في صفوف، وانظر كيف يرتبط الضرب بالقسمة.
- جدول الضربتعلّم الضرب بالصور وتدرّب عليه بلعبة قصيرة: ٢ و٥ و١٠ أولاً، ثم ٠ و١، ثم باقي جدول الضرب.
- الضرب والقسمة على ١٠ و١٠٠ و١٠٠٠عندما تضرب في ١٠ ينتقل كل رقم منزلة واحدة إلى اليسار، وعندما تقسم على ١٠ ينتقل منزلة واحدة إلى اليمين. شاهد ذلك في جدول المنازل، أولاً مع الأعداد الطبيعية ثم مع الأعداد العشرية.
- الجمع والطرح العمودياناكتب الأعداد بعضها تحت بعض، واجمع أو اطرح عموداً بعد عمود: احمل العشرة إلى العمود التالي، واستلف من العمود المجاور، وتحقّق من جوابك.
- الضرب العمودياضرب عمودياً: الضرب في عدد من رقم واحد مع الأرقام المحمولة، ثم الضرب في عدد من رقمين بسطرين وصفر في مكان الآحاد، ثم الأعداد العشرية.
- القسمة مع الباقي والقسمة الشاقوليةاكتب القسمة رقماً رقماً، وتعرّف الباقي وماذا تفعل به في مسألة، وتحقّق من القسمة بالضرب.
- إضافي: الجمع والطرح بالمعداداجمع واطرح أعداداً من رقمين بتحريك الخرزات على المعداد. بدّل عشر خرزات آحاد بخرزة عشرات واحدة، والعكس.
- ضرب الأعداد المنتهية بأصفار والحساب العشريضرب أعداد في آخرها أصفار (٤٠×٣٠ و٦٥٠×٣٠٠)، وجمع الأعداد العشرية وطرحها عموديًّا، وضرب عددين عشريين بعدّ منازل الفاصلة.
- الضرب العمودي في عدد من عدة منازل وفي عدد مدوَّراضرب عموديًّا بالجداءات الجزئية في عدد من ثلاث منازل، وفي عدد فيه صفر، وفي عدد مدوَّر.
- الضرب بالمكعبات: اضرب كل جزء وحدهأولًا الضرب في أعداد العشرات، ثم ضرب عدد من عدة منازل في عدد من منزلة واحدة بمكعبات المئات والعشرات والآحاد: نضرب كل جزء وحده ثم نجمع النواتج.
- الجمع والطرح بأربع منازل بمكعبات الألفاجمع وأطرح أعدادًا من أربع منازل في جدول المنازل بمكعبات الآحاد والعشرات والمئات والآلاف، بتبديل عشرة بواحد في العمود التالي.
- العدّ بمجموعات ومسائل الضربالعدّ بخطوات ٧ و٢٠٠، و«كم ضعفًا» في القصص، وثمن عدة كيلوغرامات، ومسائل السرعة بآلة الضرب.
- أجزاء المساواة: حدّا الجمع، المجموع، الفرقاجمع وانقص على مستقيم الأعداد قطعةً قطعة، وتعلّم أسماء أجزاء المساواة، واحسب الطرح بمساعدة الجمع.
- العدد المجهول وتغيّر المجموعجد حدّ الجمع المجهول وأعداد الطرح المجهولة بقاعدة، وقارن بين عبارتين دون حساب، وانظر كيف يتغير المجموع.
- الأعداد من منزلتين: بالمنازل، بالقطع، وحيلة التقريباجمع واطرح الأعداد من منزلتين منزلةً منزلة وقطعةً قطعة، واحسب ٣٨ + ٩ بمساعدة ١٠ ثم أرجع الواحد الزائد.
- جدول الضرب وتغيّر الناتج مع الأعدادافحص جدول الضرب، واضرب واقسم على التوالي، وانظر كيف يتغيّر ناتج الضرب وناتج القسمة بتغيّر الأعداد.
- طرائق الحساب الذهني: رقمًا رقمًا، التقريب، القسمة على أجزاءاجمع الأعداد وأطرحها رقمًا رقمًا وبالتقريب، وفكّك الأعداد واقسمها، واقسم الأعداد المدوّرة بوحدات المنازل.
- طرائق ذكية للضرب والقسمةاضرب واقسم في ٥ و٢٥ و٥٠ و١١ و١٠١ و٩ و٩٩ بطرائق سهلة.
- قوانين العمليات والحساب الذكيسهّل الحساب بالخاصية التبديلية والتجميعية والتوزيعية، وبسّط العبارات التي فيها أعداد نسبية.
- العبارة والمساواة والمتراجحةميّز بين العبارة والمساواة والمتراجحة، واشطب المساواة الخاطئة، وقارن بين عبارتين دون حساب.
- القسمة مع الباقي على ١٠ و١٠٠اقسم مع الباقي على ١٠ و١٠٠ بتغطية الأرقام التي على اليمين، واقسم الأعداد المنتهية بأصفار بشطب أصفار متساوية.
- سلسلة العملياتاتبع الأسهم: عدد في دائرة وعملية على الراية. جد العدد الأخير في السلسلة، وأعد الراية الممسوحة.
- جداول الجمعاقرأ جداول جمع ١ و٢ و٥ و٧، وغطِّ النتائج واكتبها من جديد. ثم جمع العشرة الثانية (من ١١ إلى ٢٠).
- الطرح: ٦ و٧ و٨ و٩اكتب العدد الأول على شكل مجموع عددين مناسبين، أحدهما يساوي العدد المطروح. فيبقى العدد الآخر.
- جمع مجموع وطرحهأضف مجموعًا إلى عدد، واطرح مجموعًا من عدد، واطرح عددًا من مجموع؛ واكتب المساواة بالأقواس.
- الضرب والقسمة بتجزئة العدداضرب واقسم عددًا من منزلتين على عدد من منزلة واحدة بتجزئته إلى أجزاء سهلة، وتحقق بالعملية العكسية.
- التحقق من العمليات: التقدير والعملية العكسيةقدّر الجواب قبل أن تحسب، واحسب بالعمود، وتحقق بالعملية العكسية، واحكم هل النتيجة معقولة (حتى نتيجة الآلة الحاسبة).
الكسور
١٨
- ما هو الـكسر؟قسّم الواحد إلى أجزاء متساوية، واستعمل الكسر لتقول كم جزءًا أخذت.
- الكسور على مستقيم الأعدادالكسور أعداد أيضًا، ولكل منها مكانه على مستقيم الأعداد. قسّم المسافة من ٠ إلى ١ إلى أجزاء متساوية وضع النقاط.
- الكسور المتكافئةالمقدار نفسه بأجزاء مختلفة: قسّم الشريط إلى أجزاء أكثر أو أقل، وانظر متى يتساوى كسران.
- مقارنة الكسورأي كسر أكبر؟ ضع الأشرطة بعضها تحت بعض، وانظر أيها يمتد تلوينه أبعد.
- جمع الكسور وطرحهاضع الكسور على الأشرطة، ثم اجمعها واطرحها. إذا كانت المقامات مختلفة، فاجعل الأجزاء بالحجم نفسه أولًا.
- ضرب الكسور وقسمتهااستعمل الأشرطة لترى أن الضرب في كسر يعني «كم مرة» أو «أي كسر من»، وأن القسمة على كسر تعني «كم مرة يحويه».
- الأعداد العشريةجِد الأعشار والأجزاء من مئة على مستقيم الأعداد، وتعرّف كيف تُكتب الأعداد العشرية وكيف تُقرأ.
- القسمة والكسوراكتب القسمة الشاقولية رقمًا رقمًا، وانظر كيف أن كل كسر هو في الحقيقة قسمة يمكن أن تحوّله إلى عدد عشري.
- كسر من كميةوزّع التفاح بالتساوي وخذ بعض الأجزاء. ثم كبّر وصفة طبخ وصغّرها.
- النسبة المئوية والتحويل بين الكسر والعدد العشري والنسبة المئويةالنسبة المئوية تعني «من مئة». استعمل مربع المئة وشريط ١٠٠٪ لترى أن الكسر والعدد العشري والنسبة المئوية ثلاثة أسماء لمقدار واحد.
- ضرب الكسور المركبة وقسمتهااستعمل الأشرطة لترى كيف نضرب الكسور المركبة ونقسمها، وأي عملية نجريها أولًا في الحساب.
- القسمة العشرية والكتابة العشرية الدوريةحوّل القسمة العشرية إلى قسمة أعداد طبيعية، وتابع القسمة حتى ترى الأرقام تتكرر، وحوّل كتابة عشرية دورية إلى كسر.
- الكسر الذي بسطه أو مقامه كسركسر بسطه أو مقامه كسر: اقسم كسرًا على شريط، وعدّ كسرًا في كسر، واقسم على الكسر السفلي بقلبه.
- طرح الكسر المركب والحساب بالكسوراطرح الأعداد الكسرية بعضها من بعض، وفُكّ الواحد إلى كسر عند الحاجة، وحلّ عبارات فيها كسر في بسطه كسر، وكبّر وصفة طعام لعدد أكبر من الأكواب.
- جزء من عدد، وإيجاد العدد من جزئهجد جزءًا من عدد، ثم جد العدد كله من جزئه: أولًا جزء واحد، ثم العدد كله أو عدة أجزاء.
- الكسر الأكبر من الواحد، وإيجاد العدد من كسره، والنسبة المئوية، والقيمة العشرية التقريبيةمثّل الكسر الأكبر من الواحد على الأشرطة، وأوجد الكل من قيمة كسر أو من نسبة مئوية، واكتب عددًا نسبةً مئوية من عدد آخر، وقرّب الكسر إلى رقم المئات من الأجزاء العشرية.
- كسر من وحدة القياس٦ سنتيمترات كم هي من المتر؟ وثلاثة أشهر كم هي من السنة؟ اكتب كسرًا من وحدة، وحوّله إلى وحدة أصغر، وقارنه بعدد مع وحدته.
- الخُمس والعُشرقسّم الواحد إلى ٥ أجزاء متساوية وإلى ١٠ أجزاء متساوية، وقارن ١٥ و١١٠، وأوجد خُمس مقدار وعُشره.
النسبة والتناسب
١٧
- النسبة والتقسيم بنسبة معطاةبشريط من لونين، انظر ماذا تعني «٢ إلى ٣»، واختصر النسب، وقسّم كمية بنسبة معطاة.
- التناسب وطريقة الوحدةاستعمل جدول التناسب لتجد مقداراً ناقصاً: أولاً المقدار لواحد، ثم لأي عدد. والتناسب العكسي في النهاية.
- التكبير والأشكال المتشابهةكبّر شكلاً بنسبة معلومة، وجد الأشكال المتشابهة، واقرأ نسبة التشابه، وارسم شكلاً متشابهاً.
- التغيّر المئوي والمعامل والنسبة المئوية العكسيةالمقدار الأول شريط ١٠٠٪. الزيادة تجعل الشريط أطول (١٢٠٪)، والنقصان يجعله أقصر (٨٥٪). استعمل الأشرطة لتجد معامل التغيّر والتغيّر المئوي والسعر الأصلي.
- المعدّلات وسعر الواحدة والكثافةاستعمل جدول النسبة لتجد المقدار «لكل واحد»: سعر الكيلوغرام، واللترات لكل ليرة، وكتلة كل سنتيمتر مكعب.
- الخرائط والرسم بـمقياس الرسمقِس بالمسطرة على خريطة وعلى مخطط غرفة، واستعمل مقياس الرسم لتجد الأطوال الحقيقية.
- الخط البياني لـالتناسب الطردي والتناسب العكسيارسم تناسباً طردياً من جدول، وجد k من نقطة واحدة، واجعل y = kx يمر بنقطة بواسطة منزلقة، وميّز الخط البياني للتناسب الطردي، وارسم تناسباً عكسياً.
- إثرائي: التناسب المركبفي التناسب المركب تتغيّر ثلاثة مقادير معاً. في الجدول غيّر مقداراً واحداً في كل مرة، وقرّر هل كل تغيير طردي أو عكسي.
- المسافة والسرعة والزمن: s = v×tجد المسافة والسرعة والزمن من الجدول وبالقوانين s = v×t و v = s ÷ t و t = s ÷ v.
- حركة جسمين والعمل المشتركجد البعد بين جسمين يتحركان معًا، وزمن العمل المشترك، بالجدول وبخطة الحل.
- القسمة المتناسبة والكمية المتساويةحلّ المسائل بالتدوين المختصر «السعر، العدد، الثمن الكلي»: القسمة المتناسبة، وإيجاد الكمية المتساوية من فرقين أو من مجموعين.
- الحدّ الرابع المتناسب ومعرفة قيمة الواحد مرتينحلّ المسائل بطريقة النسب وبطريقة معرفة قيمة الواحد، وكذلك المسائل التي تتغير فيها كمّيتان.
- الأشكال المتشابهة: الطول والمساحة والحجمعندما يُكبَّر شكل بنسبة تشابه k تُضرب الأطوال في k، وتُضرب المساحات في k²، وتُضرب الحجوم في k³. استعن بجدول النسب لتجد المقدار المجهول.
- العمل: الإنتاجية والزمن والعمل الكليحلّ مسائل العمل: الإنتاجية في ساعة × زمن العمل = العمل الكلي المنجز، بجدول قصير.
- مسائل التناسب: الكمية الثابتةحلّ مسائل فيها كمية ثابتة (وزن علبة، سعر قلم، الوزن الكلي): جدها أولًا ثم أجب عن السؤال.
- الحركة والعمل: طريقة واحدة لكليهماحلّ مسائل الحركة المتزامنة والعمل المشترك بطريقة واحدة: السرعة × الزمن = المسافة، والإنتاج × الزمن = العمل المنجز.
- النسبة المئوية: الكل والجزء والنسبةأوجد الجزء أو النسبة المئوية أو الكل بشريط النسبة المئوية وبطريقة الواحد وبعلاقة الجزء = الكل × النسبة.
النقود
٧
- القطع والأوراق النقديةتعرّف إلى القطع والأوراق النقدية، واصنع مبلغًا من المال بطرق مختلفة، وانظر أن القطع الأكثر ليست دائمًا مالًا أكثر.
- الشراء والباقياجمع السعر عدة أشياء، وادفع ثمنها، واحسب الباقي بالعدّ صعودًا.
- النسبة المئوية في المال: الحسم والربح والخسارةاستعمل شريط ١٠٠٪ لترى كم يُنقص الحسم من السعر، وكم في المئة من سعر الشراء يربح البائع أو يخسر.
- الفائدة البسيطة والفائدة المركبةتابع المدّخرات سنة بعد سنة: مع الفائدة البسيطة يُضاف المبلغ نفسه كل سنة، ومع الفائدة المركبة يُضرب المال في العدد نفسه. ثم انظر كيف تنقص قيمة شيء كل سنة.
- ضريبة المبيعات والخصم النقدي وسعر البيع والنسبة في الألفالسعر بدون ضريبة والسعر مع الضريبة بنسبتين ١٩٪ و٧٪، وخصم تجاري يليه خصم نقدي، ومراحل حساب سعر البيع، والنسبة في الألف.
- النسبة المئوية والنقطة المئويةما الفرق بين «زاد ٥٪» و«زاد ٥ نقاط مئوية»؟ معدل ٢٠٪ يصل إلى ٢٥٪، وحصة التلاميذ المتفوقين، ومسألة من المصرف.
- القروض: دفعات متناقصة ودفعات متساويةخذ قرضًا وراقب الدين يكبر ويصغر: يُسدَّد بأجزاء متساوية من الدين أو بدفعات متساوية. ثم قارن ما يدفعه المقترض في النهاية.
القياس
٣٣
- المقارنة: أطول، أثقل، أكثر امتلاءًأيهما أطول؟ أيهما أثقل؟ قِس بمشابك الورق وبالشبر وبالأكواب.
- قياس الطول والكتلة والسعةقِس بالمسطرة وبالميزان وبالإبريق المدرّج. قدّر أولًا، ثم قِس.
- الساعة والتقويمحرّك عقربي الساعة، واكتب وقتاً بعد الظهر كما يكتبه الهاتف، وجد الأيام على التقويم.
- المحيط والمساحةدُر حول الشكل لتجد المحيط، وغطِّه بمربعات الوحدة لتجد المساحة، وانظر كيف يمكن أن يكون لشكلين المساحة نفسها ومحيطان مختلفان.
- ربع الساعة وترتيب الزمناعرض «التاسعة والربع» و«العاشرة إلا ربعًا» على الساعة، واكتب الوقت بطريقتين، وانظر أي عمل استغرق وقتًا أطول.
- تحويل الوحداتحوّل الأمتار إلى سنتيمترات، والغرامات إلى كيلوغرامات، واللترات إلى ميليلترات. شريط التحويل يساعدك.
- مساحة المثلث ومتوازي الأضلاع وشبه المنحرف والدائرةحرّك القطع لترى لماذا مساحة متوازي الأضلاع = القاعدة × الارتفاع، ولماذا المثلث نصفها، وأكمل شبه منحرف بنسخة منه، وقدّر مساحة الدائرة.
- الحجم متوازي مستطيلاتابنِ صناديق من مكعبات الواحدة، وعُدّ المكعبات طبقة بعد طبقة، واكتشف لماذا حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع.
- إثراء: قراءة درجة الحرارة بميزان الحرارةاقرأ ميزان الحرارة، وبيّن عليه درجة حرارة تحت الصفر.
- حجم الموشور والأسطوانة ومساحتهماأدِر موشورات وأسطوانات، وجد قاعدة، واملأها طبقة طبقة لترى لماذا الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع، وافتح المخطط لتحسب المساحة الجانبية والمساحة الكلية.
- قياس أدقّ وجزء من الوحدةقِس بوحدتك الخاصة، وعُدّ الأجزاء الصغيرة من السنتيمتر، وجد منتصف الخط.
- الهرم والمخروط والكرة والمجسمات المركّبةاسكب هرمًا في موشوره وكرة في أسطوانتها لترى من أين يأتي ١٣ و٢٣. افتح مخروطًا فيصير قطاع دائري، وجد مولده بمبرهنة فيثاغورث، واحسب حجم برج ومساحته.
- الأسطوانة والعلبة والصندوق: مسائل الحجم والمساحةلُفّ ورقة على شكل أنبوب وقل كم لترًا تتسع، وقارن مساحة الصفيح اللازم لعلبة وصندوق، وجد حجم صندوق بلا غطاء.
- دقة القياس: الحد الأعلى والحد الأدنىالقياس المقرَّب هو في الحقيقة موضع داخل مجال. ارسم المجال، واستعمل الحدّين لتجد أكبر نتيجة وأصغر نتيجة.
- قياس الزمن: الدقيقة والثانيةجد وقت الوصول، واحسب الزمن بين ساعتين بالأسهم، وحوّل بين الدقائق والثواني والساعات.
- الكيلومتر والسعة وكتلة الماءحوّل بين المتر والكيلومتر، وميّز سعة الوعاء من حجم السائل الذي فيه، واكتشف كم سنتيمترًا مكعبًا وكم غرامًا في لتر ماء.
- مساحة المعين والدائرةجد مساحة المعين بأربعة مثلثات وبقطريه، وانظر لماذا المعين نصف المستطيل المحيط به، ثم احسب مساحة الدائرة من قطاعاتها وبالقانون: π × نصف القطر × نصف القطر.
- المتر والسنتيمتر، الكيلوغرام والغرام معًااقرأ واكتب القياسات بوحدتين (٣٢٥ سم = ٣ م و٢٥ سم)، واختر الوحدة المناسبة، واقرأ نصف السنتيمتر على المسطرة.
- الديسيمتر والعمل بالقياساتتعلّم أن ١ ديسيمتر يساوي ١٠ سنتيمترات، وقِس الأشرطة بالديسيمتر، واجمع أطوالًا بالديسيمتر والسنتيمتر.
- الأعداد المسمّاة بوحدتين والعمليات الأربع عليهااجمع واطرح واضرب واقسم قياسات مكتوبة بوحدتين: اكتبها كلها بوحدة واحدة، واحسب، ثم اكتب الجواب من جديد بوحدتين.
- مساحة المستطيل ووحدات المساحةجد مساحة المستطيل بالقانون S = a·b، واحسب الضلع المجهول، وتعرّف وحدات المساحة: السنتيمتر المربع والديسيمتر المربع والمتر المربع والآر والهكتار.
- الزمن: جمع الأعداد المسمّاة وطرحهاحوّل الوحدة الكبيرة للزمن إلى وحدة أصغر، واجمع أو اطرح، واكتب الجواب بوحدتين. وجد مدة حدث من بدايته ونهايته.
- الموشور ومتوازي المستطيلات والهرم: الخواص والمقاطع والهرم الناقصأوجد قطر متوازي المستطيلات، وحجم الموشور المائل، والمساحة الجانبية للهرم المنتظم، وحجم الهرم الناقص، ومقطع الهرم.
- مقاطع الأسطوانة والمخروط والكرة، ومعادلة الكرةأوجد قطر المقطع المحوري، ونصف قطر مقطع المخروط والكرة، واقرأ المركز ونصف القطر من معادلة الكرة.
- الموشور: مسائل القطر والزاويةأوجد ارتفاع الموشور القائم وحرفه الجانبي من قطر وزاوية، واحسب المساحة الجانبية، واكتب الجواب بالجذر.
- الهرم: على أي نقطة من القاعدة تسقط القمة؟من تساوي الحروف الجانبية أو تساوي الزوايا الزوجية حدّد النقطة التي تسقط عليها قمة الهرم في القاعدة، ثم أوجد الارتفاع والمساحة الجانبية.
- حجوم المجسّمات: مسائلأوجد حجم قطعة من ارتفاع الماء، ونصف قطر كرة مصهورة، وحجم مجسّم ينتج من دوران مثلث أو شبه منحرف. أبقِ π في الجواب.
- محيط المضلّعجد محيط المثلث ABC والمستطيل DMPK بوصفه مجموع أطوال أضلاعهما كلها.
- طول القوس ومساحة القطاع الدائري والقطعة الدائريةجد طول قوس قياسه n درجة، ومساحة القطاع الدائري والقطعة الدائرية بالقانونين l = πRn١٨٠ وS = πR٢n٣٦٠.
- القطاع الدائري وطول القوس والقطعة الدائريةالقطاع الدائري هو α/٣٦٠° من الدائرة: أوجد طول قوسه ومساحته، وأوجد الزاوية من طول القوس، وأوجد مساحة قطعة دائرية.
- أجزاء الكرة والمنشور المائلأوجد مساحة منطقة كروية، وحجم قطعة كروية وقطاع كروي، وحجم منشور مائل. اكتب الجواب بدلالة π: العدد ٢٠π يُدخَل ٢٠π.
- وحدات الكتلة والسرعة والمساحةحوّل بين الطن والقنطار والكيلوغرام، وبين كم/سا وم/ث، وبين الهكتار والكيلومتر المربع، واختر الوحدة المناسبة.
- الطن والقنطار والقرنحوّل الأطنان والقناطير إلى كيلوغرامات، وجد القرن الذي تنتمي إليه سنة ما.
الأشكال والهندسة
٨٢
- الأشكال المستوية وتناظرارسم مثلثًا ومربعًا على لوح النقاط، وجد المثلثات، وارسم محور تناظر.
- الزاوية (الرأس) والدائرة والمستطيل والتناظرعُدّ الرؤوس، واعثر على الشكل الذي لا رؤوس له، وارسم مستطيلًا، واطوِ الشكل، وقسّمه إلى أجزاء متساوية.
- المجسماتتعرّف إلى مكعب ومتوازي مستطيلات وأسطوانة ومخروط وكرة وهرم، وعُدّ الوجوه والأحرف، واصنع مخطط مكعب.
- المستقيم ونصف المستقيم والقطعة المستقيمة والزاويةجد أنصاف المستقيمات، وارسم مستقيمات متوازية ومتعامدة على ورق النقاط، وقارن الزوايا بزاوية قائمة من الورق.
- المثلثات والرباعياتصنّف المثلثات حسب أضلاعها وزواياها، وتعرّف إلى عائلة الرباعيات، وارسم قطري المعين.
- المضلعات ومجموع زواياهاجد المضلعات المنتظمة، واكتشف مجموع زوايا المثلث، وقسّم المضلعات إلى مثلثات لتجد مجموع زواياها.
- قياس الزاوية بالمنقلةاقرأ الزوايا وارسمها بالمنقلة. جد الزوايا على مستقيم، والزاويتين المتقابلتين بالرأس، ومنصف الزاوية.
- الـدائرة: نصف القطر والقطر والعدد πقِس قطر الدائرة ونصف قطرها. لُفَّ شريطًا حول دائرة، واعرف كم قطرًا يصنع محيطها.
- الإنشاءات الهندسية بالمسطرة والفرجاراستعمل الفرجار والمسطرة لتتعرّف الوتر والقوس، وارسم محور قطعة مستقيمة ومنصف زاوية، وابنِ مثلثات من أضلاعها.
- زوايا مستقيمين متوازيين وقاطعاسحب وأدِر مستقيمين متوازيين وقاطعًا لهما، لترى أيّ الزوايا تبقى متساوية دائمًا، وأيها مجموعه ١٨٠°، وماذا يحدث عندما لا يكون المستقيمان متوازيين. ثم استعمل مستقيمًا موازيًا لتبيّن لماذا مجموع زوايا المثلث ١٨٠°.
- متراجحة المثلث، والمستقيمات الخاصة في المثلثابنِ مثلثًا من ثلاث عصي، واكتشف أيّ ثلاثة أطوال تصنع مثلثًا وأيها لا تصنع. ثم اختبر متوسطًا وارتفاعًا ومحور ضلع على مثلث تغيّر شكله بنفسك، وانظر أين تلتقي المتوسطات الثلاثة دائمًا.
- الأشكال المتطابقة وحالات تطابق المثلثاتأزِح شكلًا وأدره واقلبه حتى ينطبق على شكل آخر. ثم جد الرؤوس المتناظرة في مثلثين، واختر حالة التطابق، واكتب برهانًا سطرًا سطرًا، واسحب مثالًا مضادًا يبيّن أن (ضلع، ضلع، زاوية) ليست حالة تطابق.
- مبرهنة فيثاغورث وعكسهاابنِ مربعات على أضلاع مثلث قائم وقارن مساحاتها، وانظر لماذا المبرهنة صحيحة بأربع نسخ من المثلث، وجد ضلعًا مجهولًا، واستعمل العكس لتختبر الزاوية القائمة، وعيّن √٢ على مستقيم الأعداد بالفرجار.
- الاستدلال والبرهان في الهندسةاسحب مثلث متساوي الساقين وانظر كيف تبقى زاويتا قاعدته متساويتين دائمًا. ثم برهن ذلك بالأسباب، واستعمله في برهان جديد، وبيّن أن قولًا آخر خاطئ بمثال مضاد.
- مبرهنة تالس وتشابه المثلثاتحرّك مستقيمًا يوازي أحد أضلاع مثلث، وانظر كيف تبقى النسبة بين القطع التي يصنعها على الضلعين الآخرين متساوية دائمًا. ثم جرّب العكس، والمثلثات المتشابهة، ونسبة التشابه.
- المحل الهندسيجد كل النقاط التي تبعد مسافة معلومة عن نقطة، أو عن قطعة مستقيمة، أو عن نقطتين، أو عن ضلعي زاوية، وانظر أيّ شكل تصنع. ثم استعمل الفرجار لتلوّن منطقة تحقق شرطين معًا.
- المستقيم والدائرة، والزاوية المركزية والزاوية المحيطية، والمماسحرّك مستقيمًا عبر دائرة وانظر متى يقطعها، ومتى يمسّها فقط، ومتى لا يلاقيها. قرّب دائرتين حتى تتماسا، وأدر مماسًا حول دائرة، وانظر أن الزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية دائمًا.
- المضلعات المرسومة في دائرة، والدائرة الداخلية، والأطوال في الدائرةارسم الدائرة المارة برؤوس مثلث والدائرة الداخلية له، وانظر أين يقع مركزاهما. ثم اسحب رؤوس رباعي مرسوم في دائرة، واختبر وترين متقاطعين: أي علاقة تبقى صحيحة دائمًا؟
- مناظر المجسم وفيثاغورث في الفراغأدِر برجًا من المكعبات، وتعرّف على مناظره الأمامي والعلوي والجانبي وارسمها على شبكة. ثم جد قطر متوازي المستطيلات باستعمال مبرهنة فيثاغورث مرتين.
- مبرهنات في المثلث القائمفي مثلث قائم فيه زاوية قياسها ٣٠°، الضلع المقابل لها نصف الوتر؛ والمتوسط المتعلق بالوتر نصفه أيضًا. شاهد المبرهنتين، وبرهن إحداهما، واستعملهما.
- المسلّمات والقطع المستقيمة والمبرهناتانظر أن من نقطتين يمر مستقيم واحد فقط وأن AB = AC + CB، وجد منتصف قطعة مستقيمة، وميّز المبرهنة من عكسها.
- إثراء: التبليط بالمضلعاترتّب نسخًا من مضلع منتظم حول نقطة، وانظر أيها يتلاصق بلا فراغ وبلا تداخل، ولماذا يترك المخمس المنتظم فراغًا، وبلّط بنوعين من المضلعات.
- المجسمات المنتظمة والمقاطعأدر المجسمات المنتظمة (مجسم متعدد الوجوه منتظم)، وعُدَّ وجوهها ورؤوسها وأحرفها، واكتشف V − E + F = ٢. ثم اقطع مكعبًا بسكين وانظر أي أشكال يمكن أن يكون المقطع.
- الزاوية الخارجية، الأضلاع والزوايا، المثلثات القائمةانظر كيف تساوي الزاوية الخارجية مجموع الزاويتين الداخليتين البعيدتين عنها، وكيف تقابل الزاوية الأكبر الضلع الأطول، وطبّق حالات تطابق المثلثات القائمة.
- الوتر والمحل الهندسي وخطوات الإنشاء الأربعانظر أن القطعة التي تصل المركز بمنتصف الوتر عمودية على الوتر، وجد بُعد المركز عن الوتر، وعُدّ حلول مسألة محل هندسي.
- القطوع المخروطية: قطع مخروطاقطع مخروطًا بمستويات مختلفة وانظر من أين تأتي الدائرة والقطع الناقص والقطع المكافئ والقطع الزائد. ثم انظر أي منحنٍ تصنعه نسبة البعد عن البؤرة إلى البعد عن الدليل.
- المضلع المنتظم والدائرة الخارجية المماسّة للمثلثجد ضلع المضلع المنتظم وأبوتيمه من نصف قطر دائرته المحيطة أو الداخلة، واحسب نصف قطر الدائرة الخارجية المماسّة لمثلث.
- المستقيم والمستوي في الفراغاكتشف بمتوازي مستطيلات كيف يكون وضع مستقيمين في الفراغ: متوازيان أو متقاطعان أو متخالفان. ثم ادرس المستقيم والمستوي، والمستقيم العمودي على مستوٍ، وزاوية مستقيمين متخالفين.
- قواعد التلاقي في الفراغ والمقاطعمرّر مستويًا بثلاث نقاط، وجد مستقيم تقاطع مستويين، وميّز المستقيم الموازي لمستوٍ، وسمِّ شكل مقطع مكعب.
- مستويات متوازية، والإسقاط، والأعمدةافحص توازي مستويين، وقارن القطع المحصورة بين مستويين متوازيين، وجد طول مسقط موازٍ وبعد نقطة عن مستوٍ.
- تناظر المضلعات وزواياها الداخلية والخارجيةعدّ محاور تناظر المضلعات المنتظمة، وجد زاوية كل رأس فيها، وانظر لماذا يكون مجموع الزوايا الخارجية دائمًا ٣٦٠ درجة.
- مبرهنات الدائرة ومبرهنة منصّف زاوية المثلثأثبت أن المماسين المرسومين من نقطة واحدة متساويان، وتعلّم أن منصّف زاوية المثلث يقسم الضلع المقابل بنسبة الضلعين الآخرين.
- عمود وموازٍ من نقطة، ورسم شكل من معطياتهمن نقطة خارج مستقيم ارسم متعامدان ومتوازيان، وحلّل المسألة وابنِ المعين والمثلث المتساوي الساقين بالفرجار.
- رسم زاوية ومثلث بالفرجار والمسطرةارسم زاوية تساوي زاوية معطاة. وابنِ مثلثًا من ضلعين والزاوية بينهما، ومن ضلع وزاويتين مجاورتين له، ومثلثًا قائمًا من ضلع قائم والوتر.
- طريقة المحل الهندسي في الرسم: نقطة، دائرة، مثلثجد النقطة المطلوبة على أنها نقطة تقاطع محلّين هندسيين. ثلاث مسائل: نقطة على مستقيم تبعد مسافة معلومة عن مستقيم آخر، ودائرة تمسّ مستقيمًا في نقطة معلومة، ومثلث معلوم ضلع منه ونصف قطر دائرته المحيطة.
- البرهان بالخلفتعلّم البرهان بالخلف: افرض أن المطلوب إثباته غير صحيح، ثم صِل إلى تناقض، ثم استنتج.
- مبرهنتا سيفا ومينيلاوس، ومبرهنة بطليموس، ومستقيم أويلرأربع مبرهنات إضافية: متى تلتقي ثلاثة مستقيمات خارجة من رؤوس مثلث في نقطة واحدة، ومتى تقع ثلاث نقاط على استقامة واحدة، وجداء قطري رباعي دائري، ومستقيم أويلر.
- نصف المستقيم والقطعة المستقيمة وقطر المضلعسمِّ النقاط بالحروف، وفرّق بين نصف المستقيم والقطعة المستقيمة، وارسم قطعة بطول معطى، وعدّ أقطار المضلع بحل مسألة أبسط.
- التناظر وطيّ الورقعُدّ الأشكال المتناظرة بخط التناظر، وارسم النظير، وخمّن الشكل بعد طيّ الورقة وقصّها.
- حل مسألة في الهندسة: المعطيات والمطلوب والخطةافصل المعطيات عن المطلوب، وضع خطة قبل كتابة البرهان، واعثر على أقصر طريق بالعمود ومبرهنة فيثاغورث، وانظر كيف يُستعمل الدائرة في المسائل.
- بيت الرباعياترتّب أشباه المنحرف والطائرات الورقية ومتوازيات الأضلاع والمعيّنات والمستطيلات والمربعات حسب التناظر والأقطار، وأنشئ طائرة ورقية.
- العلاقات المترية في المثلث القائم وخواص التناسبارسم الارتفاع النازل على الوتر في مثلث قائم وانظر أن AH² = BH×HC؛ ثم أوجد طول ضلع بهذه العلاقة، وطبّق خاصة الجمع في التناسب، واستنتج مبرهنة فيثاغورث من الشكل نفسه.
- طالس والدائرة المحيطة والمماسأثبت أن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة وعكسها، وجد الدائرة المارة برؤوس مثلث، وارسم مماسًا بدائرة القطر.
- الدائرة والقرصميّز الدائرة من القرص، وجد المركز وأنصاف الأقطار، وضع علامة على النقاط التي على الدائرة.
- رسم المثلثات بخطةالشكل التقريبي ووصف الرسم المرقّم وعدد الحلول في رسم المثلثات، ومنها المثلثات المعطى ارتفاعها.
- المبرهنة وعكسها والبرهانقسّم المبرهنة إلى معطيات ومطلوب، وكوّن عكسها وانقضه بمثال مضاد، وابرهن مبرهنة فيثاغورث واستعملها.
- الرسم المائل للمجسماتاختصر أحرف العمق بالمعامل q، واكتشف الرسوم الخاطئة، واقرأ الأطوال الحقيقية من الرسم المائل.
- مستويات التناظر والمقاطععُدّ مستويات التناظر في مجسمات، وجد المقطع المحوري للأسطوانة والمخروط، واستعمل الإحداثيات في الفراغ لحساب قطر متوازي المستطيلات.
- التحاكي في المستوي الإحداثيجد صور النقاط والمستقيمات بالتحاكي بقاعدة الإحداثيات، وجد نسبة التحاكي، وجد مركز ثقل مثلث.
- العمود والمائل، والزاوية بين مستقيم ومستوٍ، والزاوية الزوجيةجد المائل من العمود ومسقطه، وقِس الزاوية بين مستقيم ومستوٍ والزاوية الزوجية بزاويتها المستوية، وبيّن أن مستويين متعامدان.
- متوازي الأضلاع والمستطيل والمعين والمربعتعرّف عناصر الشكل الرباعي، وخواص متوازي الأضلاع وشروطه، وقطري المستطيل والمعين.
- شبه المنحرف، والقطعة المتوسطة، والرباعي المحيط بدائرة، ومساحة شبه المنحرفتعلّم خواص شبه المنحرف المتساوي الساقين، والقطعة المتوسطة، وشرط وجود دائرة داخل رباعي، ومساحة شبه المنحرف.
- حالتا التشابه الثانية والثالثة للمثلثاتاعرف المثلثات المتشابهة من ضلعين والزاوية المحصورة بينهما أو من الأضلاع الثلاثة، واحسب الضلع المجهول، وتجنّب فخّ الزاوية التي ليست بين الضلعين.
- القطعة المستقيمة وطولها والمستقيمقارن بين القطع المستقيمة بوضع إحداها على الأخرى، وجد طول AB من قسمين، وقِس المسافة بين نقطتين، وانظر كم مستقيمًا يمرّ بنقطتين.
- المضلّع والأشكال المتطابقة والمساحة والآر والهكتارسمِّ المضلّع برؤوسه، وجد الشكل المطابق بوضع شكل على آخر، وافهم الفرق بين الأشكال المتطابقة والأشكال المتساوية المساحة، وحوّل مساحة أرض إلى هكتارات.
- الأسطوانة والمخروط: القاعدتان والنشرجد قاعدتي الأسطوانة وقاعدة المخروط، واحسب المساحة الجانبية للأسطوانة من نشرها.
- النقطة والمستقيم والخط المنحني ونصف المستقيم والقطعة المستقيمة والخط المنكسراعثر في الصورة على النقطة والمستقيم والخط المنحني. سمِّ الأجزاء التي تصنعها النقاط على المستقيم، واحسب طول خط منكسر.
- القاطعان والمماسمن نقطة P خارج دائرة نرسم قاطعين، أو قاطعًا ومماسًا. حاصلا ضرب القطع متساويان: PA · PB = PC · PD وPT² = PA · PB.
- مستقيمات متوازية تقطع مستويًا، والإسقاط الموازيجد أطوال القطع المستقيمة بين مستقيمات متوازية تقطع مستويًا، وجد نسبة القطع في الإسقاط الموازي.
- تضعيف المتوسط ومبرهنة فاريينيونمُدّ المتوسط لتحصل على متوازي أضلاع وتبرهن حدًّا للمتوسط؛ ثم صِل منتصفات أضلاع أي رباعي وانظر أي شكل يظهر.
- نسبة مساحتي مثلثينقارن بين المساحات من دون أن تحسبها: للمثلثين اللذين لهما ارتفاع مشترك نسبة مساحتيهما كنسبة قاعدتيهما، والمتوسط ينصّف المثلث، والرأس الذي يتحرك على مستقيم موازٍ للقاعدة لا يغيّر المساحة.
- التشابه في القياس: ارتفاع من ظلّ، ومسافة لا نصل إليهااستعمل المثلثات المتشابهة في القياس على الأرض: ارتفاع شجرة من ظلّها، ومسافة عبر نهر، ونسبة مساحتي شكلين متشابهين. اكتب الحل بالترتيب: المعطيات، المطلوب، الحل، الجواب.
- الزوايا بين الأوتار والقواطع والمماسالزاوية التي رأسها ليس على الدائرة تُقاس بالأقواس: بين وترين متقاطعين نصف مجموع قوسين، وبين قاطعين نصف الفرق بين قوسين، وبين مماس ووتر نصف القوس.
- دائرتان ومماساتهما المشتركةيعتمد وضع دائرتين على المسافة d بين مركزيهما وعلى نصفي قطريهما R وr: حرّك دائرة وانظر كم نقطة مشتركة وكم مماسًا مشتركًا لهما.
- مراجعة الهندسة الفراغية للصف العاشراختر الخطوة الصحيحة التالية في برهان عن مستقيمين متخالفين، ثم حلّ مسائل عن الزاوية بين مستقيمين والإسقاط الموازي والعمودي على مستوٍ.
- اختبر نفسك: المجسّمات متعددة الوجوه والدورانية والحجماختبارات من متعدد عن المساحة الجانبية للموشور والأسطوانة والمخروط، وحجم الكرة.
- المجسمات متعددة الوجوه: الوجه والحرف والرأسجد القاعدتين والوجوه الجانبية والأحرف في الهرم والموشور ومتوازي المستطيلات، وعُدّ وجوهها وأحرفها.
- مساحة المسقط القائم لمضلعبمبرهنة مساحة المسقط S' = S · cos α جد مساحة المسقط أو مساحة المضلع نفسه.
- تقاطع مستقيم ومستوٍ، وتقاطع مستويينبقواعد التلاقي في الفراغ ارسم نقطة تقاطع مستقيم مع مستوي قاعدة مكعب، ومستقيم تقاطع مستويين من رباعي وجوه.
- نقطة تبعد المسافة نفسها عن رؤوس مضلع أو أضلاعهإذا كانت النقطة M تبعد المسافة نفسها عن رؤوس مثلث فمسقطها مركز الدائرة المحيطة به، وإذا بعدت عن أضلاعه المسافة نفسها فمسقطها مركز الدائرة الداخلة فيه. جد بعد M عن المستوي.
- الزاوية والزاوية القائمة والمستطيل والمربعسمِّ الزاوية بالحروف، وجد الزاوية القائمة بالكوس، وميّز المستطيل من الأشكال الرباعية الأخرى والمربع من المستطيلات الأخرى.
- المضلعات المنتظمة: الزاوية وعدد الأضلاع والرسمجد عدد أضلاع مضلع منتظم من زاويته، وتحقّق هل يوجد مثل هذا المضلع، وابنِ المسدس والمضلع ذا ٢n ضلعًا بأوتار تساوي نصف القطر.
- التناظر والتكبير في الفراغجد نظير نقطة بالنسبة إلى مستوٍ، واحسب كيف يتغيّر الحجم عند التكبير، وجد كل مستويات تناظر المكعب والكرة.
- متعدِّدات الوجوه والمفكوك وأقصر طريقحدّد أي متعدِّدات الوجوه محدَّب، واستعمل علاقة أويلر، وافكك منشورًا، وجد أقصر طريق تسلكه نملة على سطح متوازي مستطيلات.
- المجسمات المحاطة بمجسمات والمحيطة بهاجد نصف قطر كرة محاطة بمكعب أو بمخروط، ونصف قطر كرة تحيط بمتوازي مستطيلات، وحجم أسطوانة تحيط بموشور.
- الرسم على ورق المربعاتارسم على ورق المربعات كما في الدفتر: قطعة مستقيمة بطول معطى، ومربعًا، ومستطيلًا، وشكلًا له محيط معطى.
- مثلث الرسم وأشكال المستطيلاتارسم زاوية قائمة وعمودًا بمثلث الرسم، وأوجد مساحة شكل مؤلف من مستطيلات.
- أبنية من المكعبات: المخطط والمساقطاقرأ مخطط بناء فيه ارتفاعات الأعمدة، وارسم المسقط الأمامي والمسقط العلوي، واحسب أكبر عدد ممكن من المكعبات في بناء.
- ورق المربعات: الرسم والمسارات والمساحة بعدّ المربعاتارسم مستطيلًا على شبكة، وقس طول مسار، وجد مساحة شكل بعدّ المربعات، وقدّر مساحة شكل مستدير بشبكة شفافة.
- مثلث الرسم والمسطرة والمنقلةارسم عمودًا وموازيًا بمثلث الرسم، وقس الزوايا وارسمها بالمنقلة، وارسم ارتفاع مثلث.
- التبليط والأشرطة الزخرفيةعُدّ الأشكال المحيطة بنقطة في تبليط، وتابع شريطًا زخرفيًا بالانسحاب وبالانعكاس، وجد محاور التناظر.
- تحويلان متتاليانطبّق تحويلين هندسيين متتاليين، وجد المنحني الذي تقع عليه صور نقطة متحركة (المنحني الحامل)، وانتبه إلى الترتيب.
الموقع والاتجاه
٦
- المواقع والاتجاهات والدوراناعرف اليمين واليسار، والأعلى والأسفل وبين. ثم أدِر سهماً ربع دورة ونصف دورة وثلاثة أرباع دورة.
- إحداثيات وانسحابضع النقاط على الشبكة بإحداثياتها، وأوجد الرأس الناقص لشكل، وحرّك الأشكال بالانسحاب.
- الانعكاس والدوران والتناظر المركزيضع نقاطاً في الأرباع الأربعة، واعكس الأشكال في محور، وأدرها حول نقطة، وابحث عن الأشكال التي لها مركز تناظر.
- التحويلات الهندسية وتحاكاكتشف أي التحويلات تحافظ على الأطوال والزوايا واتجاه الشكل، وطبّق على شكل تحاكياً مركزه نقطة ونسبته ٢ و١٢، وأوجد مركز تحاكٍ، وانظر كم مرة تتضاعف المساحة.
- الانعكاس والدورانارسم صورة الشكل بالنسبة إلى مستقيم شاقولي ومستقيم مائل ومحور الفواصل، وأكمل الشكل من نصفه، وأدِر الشكل حول نقاط مختلفة، واعرف إحداثيات الصورة.
- تركيب التحويلات والتناظر وتطبيقات الانعكاستعرّف على انعكاس مرتين متتاليتين، والانعكاس الانزلاقي، ومحاور تناظر مضلّع، وأقصر طريق بمساعدة الصورة المناظرة.
الأنماط والمتتاليات
٨
- الأنماط المتكررة والأنماط العدديةأشكال وأعداد تتتابع وفق قاعدة. اكتشف النمط، وأكمله، وصحّح الخطأ فيه.
- آلات المدخلات والمخرجات وقواعد المتتالياتيدخل عدد إلى الآلة ويخرج عدد آخر. اكتشف ماذا تفعل الآلة، ثم اكتشف قاعدة متتالية عددية.
- الحد العام والمتتالية الهندسيةابنِ جدولًا من نمط أعواد الثقاب، واكتشف حده العام، واستعمله لتعدّ أعواد الشكل العشرين من دون رسمه. ثم تعرّف إلى متتاليات نضرب فيها كل مرة.
- المتتالية والحد العام والعلاقة التراجعيةاحسب الحدود بالرمز aₙ، وابنِ متتالية من علاقة تراجعية، وتعرّف المتتالية الدورية، وعُدّ الأعداد المثلثية.
- سيغما ومجموع المتسلسلاتاقرأ الرمز Σ، واحسب مجموع حدود متتالية حسابية وهندسية، وانظر لماذا يكون المجموع غير المنتهي عددًا أحيانًا.
- مجاميع خاصة وفروق ونمذجةابنِ مجموع المربعات، واجمع مجموعًا بطريقة الفروق، واكتشف الحد العام لمتتالية من الدرجة الثانية، وحُلّ مسألة من الحياة بمتسلسلة حسابية.
- رسم المتتالية: الرتابة والحدّيةارسم المتتالية نقاطًا (n,an): الحسابية على مستقيم والهندسية على منحنٍ. ثم قرّر هل تتزايد المتتالية دائمًا وهل تبقى تحت حدّ ما.
- أنماط عددية: جمل منتظمة وأعداد متناظرة وجدار الأعدادتابع جمل جمع منتظمة، واكتشف القاعدة، وكوّن أعدادًا متناظرة، وأوجد لبنة ناقصة في جدار الأعداد.
الجبر
٤٧
- ترتيب العمليات، والأحرف، والدساتيراحسب المقادير خطوة خطوة بالترتيب الصحيح. ثم دع حرفًا يمثّل عددًا، واستعمل الدساتير.
- العبارات الجبرية والحدود المتشابهة والقيمة العدديةابنِ عبارات بالبلاطات الجبرية، واجمع الحدود المتشابهة، واحذف الأزواج الصفرية، ثم عوّض قيمة x لتحسب القيمة العددية.
- حل المعادلة من الدرجة الأولى بالميزانالمعادلة ميزان متوازن. جرّب قيمًا، ثم حلّ معادلات فيها x في طرف واحد أو في الطرفين، ومع كسور وأقواس؛ وكل ما تفعله بكفّة افعله بالكفّة الأخرى.
- كتابة معادلة من مسألة وحلّهااجعل حرفًا يمثل المجهول، وحوّل القصة إلى معادلة، وحلّها، ثم تحقّق من الجواب في القصة.
- نشر قوس والتحليل إلى عواملانظر إلى القوس كأنه مستطيل: انشر بتلوين مساحته بالبلاطات، ثم اعمل بالعكس وابحث عن بُعدي مستطيل لتحلّل إلى عوامل.
- جداء حدّانيتين والمتطابقاتاضرب قوسين على شكل مستطيل من البلاطات وفي جدول، وانظر لماذا في (a + b)٢ شريطان ab، وميّز المتطابقة من المعادلة.
- المتراجحات والمجالات وحلّهامثّل حلول متراجحة على مستقيم الأعداد: قوس عند كل طرف، قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم. ثم حلّ متراجحات وانظر لماذا ينعكس اتجاه المتراجحة عند الضرب في عدد سالب.
- كثيرات الحدود: الشكل المبسّط والطرح والضرباكتب كثير الحدود بأبسط شكل، واطرح مع الأقواس، واضرب ثلاثة حدود في حدّين على الشبكة، وارفع الجداء إلى قوة.
- جملة معادلتين من الدرجة الأولىجِد النقطة التي تحقق معادلتين معًا: اقرأها حيث يتقاطع المستقيمان، وارسم المستقيم الثاني، واحذف أحد المجهولين، وتعرّف إلى المستقيمات المتوازية، وجِد الجواب الدقيق حيث لا يعطي الرسم إلا قيمة تقريبية.
- تحليل العبارات من الدرجة الثانية ومطابقات أخرىرتّب بلاطات عبارة من الدرجة الثانية في مستطيل لتجد قوسيه، واستعمل الأزواج الصفرية للحدود السالبة، وأخرج العامل المشترك أولًا، وتعرّف إلى مجموع مكعبين.
- معادلات بمجهولين وجمل المعادلاتجد الثنائيات التي تحقق معادلة بمجهولين، وارسم بيانها، وكوّن جملة من مسألة، وجد حلها.
- الكسور الجبريةحلّل البسط والمقام في الكسر الجبري واختصر العوامل المتساوية. ابحث أولًا عن القيم التي لا يأخذها x، ثم اجمع الكسور الجبرية واطرحها بتوحيد المقامات، واقسمها بالاختصار.
- التحليل بالتجميع ومتطابقة المكعباتحلّل كثير حدود من أربعة حدود بالتجميع، وحلّل مجموع المكعبين وفرقهما، وإذا صلحت عدة طرائق فاعرف من أين تبدأ.
- المعادلة من الدرجة الثانية: التحليل، والإتمام إلى مربع، والدستورحلّ المعادلات من الدرجة الثانية بالتحليل إلى عوامل، وأتمم المربع بالبلاطات كما فعل الخوارزمي، واستعمل المميز لتعرف عدد الحلول.
- كثيرات الحدود وقسمتهادرجة كثير الحدود وترتيبه وفق القوى المتناقصة، ثم قسمة كثيرات الحدود بملء جدول الضرب بالعكس، مع باقٍ ومع قوى ناقصة.
- طريقة هورنر والجذور الصحيحةاقسم كثير حدود على x − a بجدول هورنر، وأوجد الباقي، وابحث عن الجذور الصحيحة بين قواسم الحد الثابت.
- جداول الإشارة والمتراجحات الكسريةجِد أين تكون العبارة موجبة وأين تكون سالبة: علّم الجذور، واملأ جدول الإشارة تحت مستقيم الأعداد، واقرأ حل متراجحة مثل x − ١x + ٢ ≥ ٠.
- المتراجحات بمتحولين والمناطقارسم المستقيم الحدّي، واجعله متصلًا أو متقطعًا، وجرّب نقطة ولوّن المنطقة؛ ثم جِد المنطقة التي تحقق متراجحتين أو ثلاثًا معًا.
- المتراجحات العددية وخواصهاقارن بين عددين بإشارة الفرق a − b، وأثبت متراجحة، واجمع المتراجحات طرفًا إلى طرف، وقدّر قيمة عبارة.
- جملة متراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحدحلّ كل متراجحة في الجملة، ومثّل حلولها على المستقيم، ثم أوجد الجزء المشترك بينها: قطعة، أو عددًا واحدًا، أو مجموعة خالية.
- جملة معادلتين بمجهولين (إحداهما غير خطية)أوجد حلّ جملة فيها معادلة من الدرجة الثانية على أنه نقاط مشتركة بين الخطين البيانيين، وحلّها بطريقة التعويض، وكوّن جملة من مسألة.
- جملة معادلتين خطيتين: طريقة التعويضضع مكان المجهول ما يساويه في المعادلة الأخرى، ولا تنسَ القوس، وأبقِ مجهولًا واحدًا أولًا، ثم تحقق من الحل على الرسم وفي المعادلتين.
- المعادلات الكسرية والمعادلات ذات الجذورحلّ المعادلات الكسرية والمعادلات ذات الجذور التربيعية، واستبعد الجذور الدخيلة بالتحقق.
- مجموع جذرَي المعادلة وجداؤهما، معادلات تُحوَّل إلى الدرجة الثانية، وتقاطع مستقيم مع قطع مكافئاقرأ مجموع الجذرين وجداءهما من المعاملات، وحلّ معادلة من الدرجة الرابعة بتغيير المجهول، وأوجد نقاط تقاطع مستقيم مع قطع مكافئ.
- مبرهنة الباقي ومبرهنة العامل وجذور كثير الحدودجِد باقي القسمة دون أن تقسم، وتعرّف العامل بمبرهنة العامل، وجِد جذور معادلة من الدرجة الثالثة، واقرأ أمثال المعادلة من جذورها.
- المتراجحة من الدرجة الثانية والوسيطحلّ المتراجحات من الدرجة الثانية بإشارة العوامل، وانظر كيف يقود حرف (وسيط) في معادلة إلى متراجحة.
- تغيير موضوع الدستوراجعل حرفًا واحدًا وحده في الدستور: افعل بالحروف ما كنت تفعله بالميزان.
- نشر ذي الحدين للأسّ الكسري والتقريبقرّب الجذور ومقلوبات الأعداد القريبة من ١ بأول حدود قليلة من نشر ذي الحدين.
- قطع مكافئ يمرّ بثلاث نقاطاكتب جملة من ثلاث معادلات خطية بالمجاهيل a و b و c، وحلّها، وتحقق من القطع المكافئ على الرسم البياني.
- المعادلة: قاعدة إيجاد العدد المجهولكوّن معادلة من مسألة، واحلّها بقاعدة إيجاد العدد المجهول، وتحقق بالتعويض.
- العمليات على الكسور الجبرية: الطرح، والمقامات المتعاكسة، والقوة، والمطابقةاطرح الكسور الجبرية مع تغيير الإشارات، وأوجد العامل اللازم للمقام المشترك، وتعامل مع المقامات المتعاكسة، وارفع كسرًا إلى قوة، وأثبت مطابقة.
- معادلات متكافئة، ومعادلات كسرية، ومسائل كلاميةافهم ما المعادلتان المتكافئتان وما الجذر الدخيل، وحلّ المعادلة الكسرية مع التحقق، وكوّن معادلة لمسائل الحركة والعمل.
- المعادلات الناقصة من الدرجة الثانية وثلاثي الحدودحلّ ثلاثة أنواع من المعادلات الناقصة من الدرجة الثانية، وجد جذري ثلاثي حدود من الدرجة الثانية وحلّله مع معامل أعلى قوة.
- القانون والمعادلة وجذر المعادلةاستعمل قانون المسافة، وأوجد العدد المجهول، وتحقّق من الجذر بالتعويض، وانقل الحدود إلى الطرف الآخر بإشارة معاكسة، واعرف متى لا يكون لـ ax = b حلّ.
- جمل المعادلات: نمذجة المسائل الكلاميةحوّل مسائل الحركة والعمل والأرقام والمستطيل إلى معادلات: سمِّ المجهولين x و y، واكتب الجملة، وحلّها، وانظر هل يناسب الحل القصة.
- عبارة فيها حرفنضع حرفًا مكان المربع الفارغ ونكوّن عبارة فيها حرف. ضع قيمة الحرف مكانه واحسب قيمة العبارة.
- المتراجحة بمجهول: أثر كل عدد في الناتجحلّ المتراجحات التي فيها مجهول بطريقتين: بتجربة الأعداد وبتحويلها إلى معادلة. واكتب الحل بالنقاط الثلاث.
- طريقة المجالاتعلّم الجذور على مستقيم الأعداد، وضع إشارة في كل مجال، واقرأ حل متراجحة مثل (x + ١)x − ٤x − ٢ ≤ ٠.
- معادلات فيها وسيطالوسيط عدد لم يُعطَ لكنه ثابت. انظر إلى الرسم وقسّم إلى حالات: لأيّ قيم a توجد جذور، وكم عددها؟
- ضرب الكسور الجبرية وقسمتهااضرب الكسور الجبرية واقسمها: حلّل إلى عوامل، واختصر، وحوّل القسمة إلى ضرب في مقلوب المقسوم عليه، وقل أيّ قيم للحرف غير مسموحة.
- الجزء الصحيح من الكسر والمعادلات في الأعداد الصحيحةافصل الجزء الصحيح من كسر جبري، وجِد آخر رقم في القوى وباقي قسمتها بدورتها، وحلّ مسائل في الأعداد الصحيحة.
- معادلة من الدرجة الثانية فيها وسيطحرّك a وراقب القطع المكافئ يصعد ويهبط: عدد الجذور يتبع المميّز، وإشارتا الجذرين تتبعان مجموعهما وجدائهما.
- المتراجحات الجذرية والجمل المكافئةحلّ المتراجحات التي فيها جذر تربيعي بتحويلها إلى جملة مكافئة، مع الانتباه إلى مجموعة التعريف وإشارة الطرف الأيمن.
- جمل المتراجحات ومجموعاتها؛ جمل المعادلات الأسية واللوغاريتميةفرّق بين «و» (جملة، الجزء المشترك) و«أو» (مجموعة، الاتحاد)، وحلّ الجمل المختلطة وجمل المعادلات الأسية واللوغاريتمية.
- مسائل كلامية: المخاليط والسبائك والنسب المئويةأنشئ جدول «قبل» و«بعد» لمحلول ولسبيكة ولسعر، واختر x بحيث يتحقق شرط المسألة، وتحقق من أن الجواب يناسب القصة.
- بنية العبارة وترتيب العملياتسمِّ العملية الأخيرة في العبارة، ونفّذ الخطوات بالترتيب الصحيح، وضع الأقواس لتغيّر الناتج.
- معادلات المربع الفارغ والعملية العكسيةاكتب القصة على شكل معادلة فيها مربع فارغ، وأوجد العدد المجهول بالعملية العكسية، وحلّ ألغاز الأعداد بالرجوع إلى الوراء، ثم تحقّق من جوابك بالتعويض.
الهندسة التحليلية
١٢
- ميل المستقيم والترتيب عند المبدأ ومعادلة مستقيمقِس ميل مستقيم بمثلث الدرجة، وغيّر m وp في المعادلة y = mx + p بالمنزلقات، وارسم مستقيمًا من جدول قيم، وجِد معادلة المستقيم المارّ بنقطتين.
- صيغ معادلة المستقيم، والمستقيمان المتوازيان والمتعامدان، والمسافة ومنتصفحوّل المعادلة العامة للمستقيم إلى الشكل y = mx + p، وارسم مستقيمات موازية ومتعامدة، وجِد المسافة بين نقطتين بمبرهنة فيثاغورث، والمنتصف بوصفه متوسطًا.
- تقسيم قطعة مستقيمة بنسبة معطاة وبعد نقطة عن مستقيمأوجد النقطة التي تقسم قطعة مستقيمة بنسبة معلومة، واحسب بعد نقطة عن مستقيم بالقانون.
- مساحة المثلث من إحداثيات رؤوسه ومسائل هندسيةأوجد مساحة مثلث من إحداثيات رؤوسه الثلاثة، وحُلّ مسائل هندسية بالإحداثيات.
- الدائرة: المعادلة، المستقيم والدائرة، المماسابنِ معادلة الدائرة واقرأها، وأوجد نقاط تقاطع مستقيم مع دائرة، وأوجد المماس وطوله.
- القطوع المخروطية والقطع المكافئتعرّف القطع المكافئ بأنه مجموعة النقاط التي بُعدها عن المحرق والدليل واحد، واقرأ معادلته حين يكون الرأس في المبدأ وحين يكون في نقطة تختارها.
- القطع الناقص والقطع الزائد، ومستقيم بالنسبة إليهماأوجد محرقَي القطع الناقص والقطع الزائد من المعادلة، وابنِ قطعًا ناقصًا بمركز تختاره، وارسم مقارب القطع الزائد، وادرس وضع مستقيم بالنسبة إلى قطع مكافئ.
- المعادلات الوسيطية والإحداثيات القطبيةارسم المنحني من معادلاته الوسيطية نقطة نقطة، واحذف الوسيط، وانمذج حركة، وحوّل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية.
- ميل المستقيم والأشعة المتوازيةأوجد الميل m من زاوية المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور الفواصل (m = tan α، حتى للزاوية المنفرجة)، وارسم مستقيمات متعامدة، وارسم شعاعًا يوازي شعاعًا معطى.
- المستقيم والمحوران: المثلث والمحيط والمساحةأوجد نقطتَي تقاطع المستقيم ax + by = c مع المحورين، ومحيط المثلث الذي يفصله ومساحته، ونقطة تقاطع مستقيمين.
- المساحة بالمحدّداحسب مساحة متوازي الأضلاع والمثلث من الأشعة والإحداثيات بمحدّد من الرتبة الثانية.
- إحداثيات نقطة في الفراغحدّد موضع النقطة، ثم أوجد من الإحداثيات بُعد نقطتين ومنتصف قطعة ونقطة المناظرة.
التوابع وخطوطها البيانية
٣٢
- العلاقات والثنائيات المرتبة والتوابعمثّل علاقة بمخطط سهمي، وضع ثنائياتها المرتبة نقاطًا في المَعْلَم، وقرّر أي العلاقات توابع، وجرّب اختبار المستقيم الشاقولي على خط بياني.
- خطوط بيانية من الحياة، السرعة والنمواقرأ من الخط البياني للمسافة بدلالة الزمن متى توقفنا وبأي سرعة سرنا، وارسم الخط البياني لنزهة مشيًا، وطابق امتلاء زجاجة مع خطها البياني، وقارن النمو بالمضاعفة مع النمو الثابت.
- الخط البياني لـتابع من الدرجة الثانيةاملأ جدول y = x٢ − ٢x − ٣ بقيم سالبة لـ x وارسمه، وانظر لماذا أسفل قطع مكافئ مستدير، واقرأ الجذور والترتيب عند المبدأ وذروة القطع المكافئ من الخط البياني، وانظر ماذا يفعل a في y = ax٢.
- الرمز f(x)، ومجموعة التعريف، ومجموعة القيماحسب قيمة تابع من قاعدته، وجد المدخل المناسب لمخرج معيّن، واكتب مجموعة تعريف كسر وجذر، واقرأ مجموعة القيم من المنحنى.
- تابع القيمة المطلقة وتابع الجزء الصحيحانظر إلى القيمة المطلقة في الجدول والخط البياني، وحلّ معادلة القيمة المطلقة بنقطتي تقاطع الخط البياني مع مستقيم، واقرأ درجات الجزء الصحيح، وارسم أجرة سيارة الأجرة التي ترتفع درجة درجة.
- التابع المتزايد والمتناقص، والتابع الزوجي والفرديأوجد المجالات التي يصعد فيها الخط البياني أو يهبط، وناظِر النقاط بالنسبة إلى محور التراتيب وإلى المبدأ، وتحقق بـ f(−x) هل التابع زوجي أم فردي أم لا هذا ولا ذاك.
- جمع التوابع وتركيبها والتابع العكسياجمع تابعين، وراعِ الترتيب في تابع مركب، وأوجد عكس آلة بعكس مراحلها، وارسم الخط البياني للتابع العكسي بالتناظر حول y = x، واختبر بمستقيم أفقي أي تابع له عكس.
- انسحاب الخط البياني وانعكاسه وتمديدهحرّك بالمنزلقات الخط البياني y = (x − h)٢ + k، واقرأ رأس القطع المكافئ من خطه، وانظر أين تذهب نقطة عند f(٢x)، وطبّق عدة تحويلات معًا على قطع مكافئ.
- التابع التكعيبي، ورسم كثير الحدود، والمقارباتاملأ جدول تابع تكعيبي وارسمه، وارسم الخط البياني لكثير حدود من جذوره ونقطة تقاطعه مع محور التراتيب، وبيّن بمستقيمين المقاربين الشاقولي والأفقي لتابع كسري.
- التابع التآلفي: القاعدة والجدول والخط البيانيمثّل التابع بقاعدة وجدول وخط بياني، وارسم المستقيم من a و b، وجد جذر التابع، وانظر أين يكون التابع موجبًا.
- التابع من الدرجة الثانية وخواص التوابعجد رأس القطع المكافئ بالقانون، واقرأ خواص التابع من منحناه، وحلّ متراجحة من الدرجة الثانية بالمنحنى، وارسم منحنيي y = |f(x)| وy = f(|x|).
- العدد e، والنمو والتناقص الأسّياناعرف لماذا يقترب (١ + ١n)n من العدد e، وطابِق الخط البياني للتابع y = a×ex مع خط معطى، وابنِ نماذج للنمو والتناقص.
- التابع الأسّي بأساس تختاره والمعادلة الأسّيةاملأ جدول y = ٢x، وانظر كيف يعطي الأساس الأكبر من ١ منحنيًا متزايدًا والأساس بين ٠ و١ منحنيًا متناقصًا، وحلّ المعادلة الأسّية بتوحيد الأساس.
- اللوغاريتم وجدول اللوغاريتماتاعرف أن اللوغاريتم هو القوة التي نرفع إليها الأساس، وارسم الخط البياني للوغاريتم بعكس الخط البياني للتابع الأسي، واستعمل الجزأين الصحيح والعشري مع جدول اللوغاريتمات ومقابل اللوغاريتم.
- قوانين اللوغاريتم والمعادلاتشاهد قانون لوغاريتم الجداء وقانون القوة، وحلّ معادلة لوغاريتمية، وأنشئ مستقيمًا بأخذ لوغاريتم y.
- التوابع متعددة القواعد وتابع الإشارة، وخواص القيمة المطلقةاقرأ قيمة تابع متعدد القواعد، وارسم تابع الإشارة، وابنِ الخط البياني y = |x − ١| + ٢ بإزاحة V، واقرأ متراجحات القيمة المطلقة على الرسم.
- القيمة الكبرى والقيمة الصغرى، والتوابع القوىجد القيمة الكبرى والقيمة الصغرى لتابع على مجموعة، وقارن منحنى y = xn من أجل n زوجي وفردي، وتعرّف منحنى y = x−n.
- القطع الزائد المنسحبحرّك القطع الزائد بالوسيطين b وc، واقرأ المقاربين ومجموعة التعريف ومجموعة القيم، واحسب نقطة التقاطع مع محور التراتيب.
- عائلات المستقيمات والقطوع المكافئةحرّك وسيط عائلة، وأوجد الخط الحامل لرؤوس القطوع، وحلّ مسألة التماس بالمميِّز.
- المعادلات والمتراجحات الأسّية: الطرائقأخرج قوّة مشتركة عامِلًا، وبسّط المعادلة بالتعويض t = ٢x، واقرأ الجذر من الرسم، وتعلّم متى تحتفظ المتراجحة باتجاهها.
- التابعان y = kx و y = √x وخطاهما البيانيانارسم القطع الزائد من جدول، وانظر في أي أرباع يقع فرعاه، وأوجد k من نقطة، وارسم الخط البياني للتابع y = √x.
- المتطابقة اللوغاريتمية وتغيير الأساس والتابع اللوغاريتمياستعمل المتطابقة الأساسية للوغاريتم، وغيّر الأساس، وقارن لوغاريتمات أساسها بين ٠ و١.
- المعادلات والمتراجحات اللوغاريتميةحلّ معادلات فيها مجموع لوغاريتمات، وتحقّق من الجذور بمجموعة التعريف، وعوّض t = log x، وأوجد أساسًا مجهولًا، وحلّ متراجحات أساسها بين ٠ و١.
- التابع y = x² ومخطّطهابنِ جدول قيم للتابع y = x²، وعيّن النقاط، وتعرّف خواص المخطّط، وحُلّ المعادلتين x² = ٤ وx² = x + ٢ بيانيًا.
- خصائص التابع من خطّه البيانيمن الخط البياني لتابع على [−٤, ٧] جد الجذور ومجالات ثبات الإشارة ومجال التزايد والقيمة الكبرى.
- منحنى y = ⁿ√x والأسس الكسريةقارن منحنيات ³√x و⁴√x و√x، وجد مجموعة تعريف الجذر النوني والقوة الكسرية، وقارن الأعداد بالاستفادة من كون التابع متزايدًا.
- النمو والاضمحلال: B(t) = B₀ · q^tميّز الجداول الخطية والتربيعية والأسّية، وأوجد زمن المضاعفة وعمر النصف بالوغاريتم، وانظر متى يتوقف النموذج الأسّي عن الواقعية.
- كثيرات الحدود: الأطراف والجذور والقاعدةاقرأ سلوك الخط عند الطرفين من الدرجة والمعامل الأول، وميّز الجذر البسيط من المضاعف، وحلّ معادلة ثنائية التربيع، وأوجد القاعدة من الخط البياني.
- مسائل القيمة العظمى دون مشتقاكتب تابع الهدف لسياج مستطيل ولمستطيل داخل مثلث ولعلبة، واقرأ القيمة العظمى من رأس القطع المكافئ أو من جدول. وحدّد مجموعة قيم المتغير.
- عائلات التوابع ووسطاؤهاانقل التابعين القوّي والأسّي بمنزلقات، واقرأ مجموعة التعريف ومجموعة القيم والمقارب، وأوجد التابع العكسي بوصفه انعكاسًا، وطابق الخط البياني مع قاعدته.
- التوابع الكسرية: الميزاتميّز المقارب الشاقولي من نقطة الثقب، واقرأ النهايات، وأوجد المقاربات، وابنِ قاعدة من خصائص.
- إيجاد تابع من شروطحوّل خصائص التابع إلى معادلات بدلالة f وf′ وf″، وأوجد الوسطاء، وأوجد المحل الهندسي للنقاط الحرجة لعائلة توابع.
الأشعة
١٦
- القطعة المستقيمة الموجّهة وشعاع وشعاع الانسحابارسم الشعاع من بدايته إلى نهايته واقرأ مركبتيه، وجد الأشعة المتساوية والشعاع المعاكس، وانقل شكلًا بانسحاب وفق شعاع.
- جمع الأشعة، ضرب شعاع بعدد حقيقي وشعاع واحدةاجمع الأشعة بطريقة المثلث وبطريقة متوازي الأضلاع، واطرح شعاعًا من آخر، ومدّد شعاعًا واعكسه بضربه بعدد، واكتب أي شعاع بدلالة i⃗ وj⃗.
- الأشعة والحركةاجمع حركات روبوت في حركة واحدة، وأعده إلى البداية بالشعاع المعاكس، وشاهد كيف يغيّر تيار النهر المكان الذي يصل إليه السبّاح.
- الشعاع في الفراغ: الطويلة والمسافة وجيوب تمام التوجيهالشعاع في الفراغ هو قطر متوازي مستطيلات. أوجد طويلة الشعاع، والمسافة بين نقطتين، ومنتصف قطعة مستقيمة، وجيوب تمام التوجيه من الإحداثيات.
- الجداء السلمي والجداء الشعاعيالجداء السلمي لشعاعين عدد يدلّ على الزاوية بينهما؛ والجداء الشعاعي شعاع عمودي عليهما معًا. احسب كليهما واستعملهما.
- المساحة والحجم بالجداء الشعاعيطويلة الجداء الشعاعي لشعاعين هي مساحة متوازي الأضلاع المبني عليهما. ومن ثلاثة أشعة نجد حجم متوازي السطوح بمحدِّد.
- معادلة مستقيم ومستوٍ في الفراغيتعيّن المستقيم في الفراغ بنقطة وشعاع توجيه، ويتعيّن المستوي بنقطة وشعاع ناظم عليه. اكتب معادلتيهما واختبر النقاط.
- الزوايا والتقاطع والمسافات في الفراغأوجد زاوية مستقيم مع مستوٍ، ونقطة تقاطع مستقيم ومستوٍ، وبعد نقطة عن مستوٍ، والزاوية بين مستويين، بالجداء السلّمي وبالمعادلات.
- الأشعة في البرهان وحل المسائلأوجد مركز الأبعاد المتناسبة لنقاط مثقَّلة، وبرهن هندسيًا بالأشعة (القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث)، وحُلّ مسائل السرعة والمتوازي الأضلاع برسم الأشعة.
- الأشعة في المستوي: المركّبات والطويلة والجداء السلميأوجد مركّبتي الشعاع وطويلته، واحسب الجداء السلمي بالمركّبات وبالزاوية، واكتب شرط تعامد شعاعين، وأوجد الزاوية بين شعاعين.
- الجداء السلمي للأشعة: الطويلة والزاوية والمركّباتجد الجداء السلمي من الطويلتين والزاوية، واحسب مربع مجموع شعاعين، وجد تجيب الزاوية بين شعاعين، وأوجد زاوية مثلث من رؤوسه.
- الأشعة في الفراغ: الجمع والضرب بعدد والاستقامية وتوافق المستوياجمع الأشعة بقاعدة متوازي السطوح وبالمركّبات، واضرب الشعاع بعدد، واعرف متى تقع ثلاثة أشعة في مستوٍ واحد.
- الأشعة على منشور ومتوازي مستطيلات: التساوي والجمع والارتباط الخطيعلى منشور، ميّز الأشعة المتساوية والأشعة بالجهة نفسها والأشعة المتعاكسة، واجمع الأشعة، واكتب شعاعًا بدلالة أشعة أخرى، وابحث عن الأشعة المرتبطة خطيًا من إحداثياتها.
- كتابة شعاع بدلالة شعاعينيمكن بناء أي شعاع في المستوي من شعاعين لا يقعان على مستقيم واحد: p = xa + yb. ارسم الأجزاء على الشبكة، وأوجد المعاملات، واكتب AM في متوازي أضلاع، وأوجد طول مسقط شعاع.
- أوضاع المستقيمات والمستويات في الفراغاختبار انتماء نقطة إلى مستقيم، والشعاع الناظم بالجداء الشعاعي، ووضع مستقيمين، وتقاطع مستقيم مع مستوٍ.
- المسافات في الفراغالمسافة بين نقطة ومستوٍ بقانون المسافة (الصيغة الناظمية)، ومسقط النقطة على مستقيم، والمستويان المتوازيان، والمستقيمان المتخالفان.
حساب المثلثات
٢٠
- النسب المثلثية في المثلث القائمكبّر وصغّر مثلثاً قائماً فيه زاوية ٣٥°، وانظر كيف تتغيّر الأضلاع ولا تتغيّر نسبتها. ثم سمِّ الضلع المقابل والضلع المجاور والوتر لكل زاوية، واحسب ضلعاً وزاوية من جدول للنسب المثلثية، دون آلة حاسبة.
- النسب المثلثية لزوايا خاصةبتنصيف مثلث متساوي الأضلاع ومربع، جد القيم الدقيقة لـجيب وتجيب وظل للزوايا ٣٠° و٤٥° و٦٠°، واربط الظل بميل المستقيم، وحلّ معادلة مثل sin x = ١٢.
- الزوايا الكبيرة والدائرة المثلثية والراديانأدِر نقطة على الدائرة المثلثية بزوايا أكبر من ٩٠ درجة وحتى السالبة، واقرأ الجيب والتجيب من موضعها، وقِس الزاوية بـراديان، وأوجد قيمًا دقيقة مثل sin٧π٦.
- الزوايا المرتبطة، القوس والقطاع الدائريناظِر نقطة على الدائرة المثلثية لترى العلاقة بين جيب وتجيب الزاويتين θ و ١٨٠ − θ، وأوجد cos ١٢٠° بالزاوية المرجعية، واحسب طول القوس ومساحة القطاع عندما تكون الزاوية بالراديان.
- مخطط الجيب وتجيب الزاوية، الدور والسعةاقرأ مخططي الجيب وتجيب الزاوية: أين ينعدم تجيب الزاوية، وكيف يتغيّر الدور والقيمة العظمى في y = sin ٢x وy = ٢sin x + ١، واقرأ القاطع والجيب العكسي من المنحنيين نفسيهما.
- المطابقات المثلثية والبرهانبالعلاقتين sin٢θ + cos٢θ = ١ و tanθ = sinθcosθ أوجد نسبة من نسبة أخرى، واكتشف السطر الخاطئ في «برهان»، وافهم ما معنى برهان مطابقة.
- الزوايا المركّبة وضعف الزاوية وثلاثة أمثالها والجمع والجداءبعلاقات جمع الزوايا جد القيمة الدقيقة لـ sin ٧٥°، واشتغل بضعف الزاوية وثلاثة أمثالها، وحوّل مجموع جيبين إلى جداء، واكتب √٣sin x + cos x على شكل جيب واحد.
- المعادلات المثلثية التربيعية والجملحلّ المعادلات المثلثية بإيجاد كل الزوايا من ٠ إلى ٣٦٠ درجة: tan x = −١، ومعادلات تربيعية بدلالة الجيب أو تجيب الزاوية (إحداها تحتاج مطابقة أولًا)، وجملة معادلتين بمجهولين x وy.
- علاقة الجيوب وعلاقة الكاشي وعلاقة الظلال ومسائل في الفراغحلّ المثلثات المرسومة بمقياس رسم بـعلاقة الجيوب وعلاقة الكاشي وعلاقة الظلال، ثم استعمل المثلثات القائمة لإيجاد زاوية في متوازي مستطيلات.
- مساحة المثلث: الجيب وهيرون والدائرتانجد مساحة المثلث من ضلعين والزاوية بينهما، أو من أضلاعه الثلاثة بصيغة هيرون، ثم احسب بالمساحة نصف قطر الدائرة المحاطة بالمثلث والدائرة المارة برؤوسه.
- الظل: المخطط والمجال والدوراقرأ مخطط y = tan x: إشارته في كل ربع، والأماكن التي لا يُعرَّف فيها، ودوره، وحلول المعادلة tan x = ١.
- الجيب والتجيب الزوجيّان والفرديّان وقواعد الاختزالاكتشف أنّ الجيب والظل والتظل توابع فردية وأنّ التجيب تابع زوجي، ثم طبّق قاعدة التحويل: متى يتغيّر اسم التابع وما الإشارة.
- خواص التوابع المثلثيةاقرأ خواص الجيب وتجيب الزاوية وظل التمام من مخططها: الدور، والتابع الزوجي أو الفردي، والجذور، ومجالات التناقص، ومجموعة التعريف ومجموعة القيم.
- الحل العام للمعادلات المثلثيةالمستقيم y = b يقطع مخطط الجيب أو تجيب الزاوية أو الظل في عدد لا نهائي من النقاط. اكتب كل الحلول بصيغة واحدة مع n ∈ ℤ، وفي معادلة تؤول إلى تربيعية استبعد الجذر الذي لا يصلح.
- الجيب والتجيب والظل لزاوية من ٠ إلى ١٨٠ درجةعرّف الجيب والتجيب بإحداثيّي نقطة على نصف الدائرة المثلثية، وأوجد قيمتهما للزوايا المنفرجة، واستعمل العلاقة sin٢α + cos٢α = ١.
- حل مثلثحلّ المثلث في أربع حالات: ضلع وزاويتان، ضلعان والزاوية بينهما، ثلاثة أضلاع، وضلعان مع زاوية مقابلة لأحدهما.
- نتائج علاقة الكاشياعرف نوع المثلث (حاد أو قائم أو منفرج) من أكبر أضلاعه، واحسب مجموع مربعي قطري متوازي الأضلاع، وحلّ مسألة عن الضلعين AB وBC.
- تظل الزاوية، والمتطابقة المثلثية، وحلّ المثلث القائمتعلّم تظل الزاوية والمتطابقة المثلثية الأساسية، وحُلّ المثلث القائم من الوتر وزاوية أو من الضلعين القائمين، وحُلّ مسائل تطبيقية.
- المتراجحات المثلثية واختيار الجذوراستعن بالمخطط لتعرف أين يكون الجيب أو تجيب الزاوية أكبر من عدد أو أصغر منه، واختر جذور معادلة تقع في مجال معيّن.
- f(x) = a · sin(b · (x + c)) + dغيّر سعة منحني الجيب وخطّه الأوسط ودوره وإزاحته، واقرأ الإزاحة داخل القوسين قراءة صحيحة، واستعمل النموذج في مسألة عن المدّ والجزر.
الإحصاء
٣٢
- جمع البيانات وعلامات العد والتمثيل البياني بالصوراسأل رفاقك في الصف، وعُدّ بعلامات العد، وارسم تمثيلًا بيانيًا بالصور.
- التمثيل البياني بالأعمدة والتمثيل البياني بالخطوطارسم تمثيلًا بيانيًا بالأعمدة وتمثيلًا بيانيًا بالخطوط من جدول، واقرأهما، واختر التمثيل المناسب لكل سؤال.
- علامات العد، الجمع والطرح بعلامات العد، والتمثيل بالصور بالعشراتصنّف الأشياء وعُدّها بعلامات العد، واجمع واطرح بها، وارسم تمثيلًا بالصور تساوي كل صورة فيه ١٠.
- المخطط الدائري والمتوسط الحسابيلوّن المخطط الدائري واقرأه، وسوِّ الأعمدة لتجد المتوسط الحسابي، وميّز البيانات العددية من البيانات بالكلمات.
- المنوال والوسيط والمتوسط الحسابي والمدىرتّب بطاقات البيانات لتجد الوسيط، واقرأ المنوال والمدى من مخطط النقاط، وشاهد المتوسط الحسابي يتحرك عندما تتغير قيمة واحدة، واختر أنسب مقياس.
- قيمة شاذة والمقارنة بين مجموعتي بياناتقارن الوثب الطويل من الثبات في شعبتين بمقياس للنزعة المركزية وبالمدى، واسحب قيمة واحدة بعيدًا وراقب كيف يتغير المتوسط الحسابي والوسيط والمدى، وقرّر هل القيمة الشاذة خطأ أم حقيقية.
- البيانات المبوبة، المدرج التكراري والمضلع التكراريوزّع الأطوال على فئات متساوية الطول، وأكمل جدولًا تكراريًا فيه التكرارات النسبية، وارسم مدرجًا تكراريًا أعمدته متلاصقة، وصِل مراكز الفئات لتصنع مضلعًا تكراريًا.
- متوسط البيانات المبوبة والتكرار المتجمعقدّر المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة بعمود «مركز الفئة × التكرار»، واجمع متوسطي شعبتين بطريقة صحيحة، وابنِ عمود التكرار المتجمع وخطه البياني، واقرأ الوسيط من الخط البياني.
- البيانات ثنائية المتحول ومخطط الانتشارمثّل أزواج البيانات، وسمِّ نوع البيانات، وصِف الارتباط، واسحب أقرب مستقيم إلى النقاط، وتنبّأ به، وميّز الارتباط من السبب والنتيجة.
- المجتمع الإحصائي والعينة وجمع البياناتخذ عينات عشوائية من ١٠ ومن ٥٠ تلميذًا من مدرسة فيها ٦٠٠ تلميذ، وقارنها بالمدرسة كلها. اكتشف العينة المتحيزة، واختر الطريقة المناسبة لجمع البيانات لكل سؤال.
- الانحراف المتوسطشاهد بُعد كل نقطة عن المتوسط الحسابي، واحسب متوسط هذه الأبعاد، واعرف لماذا يكون مجموع الفروق بإشاراتها صفرًا دائمًا، وقارن بين مجموعتي بيانات بحسب تشتتهما.
- الربيعات ومخطط الصندوققسّم البيانات المرتبة إلى أربعة أجزاء، وجد Q₁ و Q₃، وبيّن الأعداد الخمسة لمخطط الصندوق، وقِس النصف الأوسط من البيانات بالمدى الربيعي.
- التباين والانحراف المعياري ومعامل التغيّرقِس التشتت بمربّعات البعد عن الوسط الحسابي: احسب التباين والانحراف المعياري، وقارن بمعامل التغيّر تشتت بيانات وحداتها مختلفة.
- شكل البيانات والمنحني الطبيعياقرأ شكل المدرج التكراري (متناظر أو ملتوٍ)، ولاحظ كيف يبعد الالتواء المتوسط عن الوسيط، وطبّق قاعدة ٦٨ – ٩٥ – ٩٩٫٧ على البيانات الجرسية.
- الارتباط ومستقيم الارتجاعاقرأ قوة الارتباط من r، وجد نقطة المتوسطين، وابنِ مستقيم الارتجاع بميله وتقاطعه مع المحور، وتنبّأ داخل مجال البيانات.
- مخطط الساق والورقة والسلاسل الزمنيةاكتب البيانات في مخطط الساق والورقة واقرأها، ثم ارسم سلسلة زمنية بمخطط خطي وسوِّها بالمتوسط المتحرك.
- فئات غير متساوية وبيانات بمتحولينارسم مدرجًا تكراريًا فئاته مختلفة العرض باستعمال كثافة التكرار، واقرأ التكرار من العمود، واقرأ متحولين لمجموعة واحدة على مخطط واحد.
- خط الفقر والرقم القياسي للأسعار والتضخمجد خط الفقر من وسيط الدخول، واحسب الرقم القياسي لأسعار السلع، وانظر كيف يؤثر التضخم.
- الاتجاه والاستكمال الداخلي والخارجياقرأ النمط والاتجاه في سلسلة زمنية، وقدّر قيمة بين بيانات مسجّلة بالاستكمال الداخلي، وقيمة بعدها بالاستكمال الخارجي.
- جمع البيانات والمقياس والمخطط الخطينظّم أجوبة استبيان بعلامات العد، واختر مقياسًا مناسبًا لمحور المخطط، واقرأ مخطط درجات الحرارة في ١٢ شهرًا وفسّره.
- النسبة المئوية في الإحصاء والاحتمالاكتب نتيجة استبيان بالنسبة المئوية، وجد النسبة المئوية من زاوية قطاع دائري، وارسم مخططًا دائريًا بالنسب المئوية، واكتب الاحتمال نسبةً مئوية.
- أنواع المتحولات وجمع البيانات والتقديرميّز المتحول النوعي من الكمي، والمنفصل من المستمر، وخذ عينة طبقية، واختر السؤال المحايد، وقدّر متوسط المجتمع من عينة.
- جدول البيانات: القراءة والملءاقرأ جدولًا بسيطًا، وجد أكبر قيمة، واحسب الفرق، واملأ الجدول من المعطيات.
- التصنيف حسب الصفةصنّف الأشياء حسب اللون والشكل، وعُدّ كل صنف، وجد أكبر صنف.
- الجداول الزمنية: الحصص والحافلاتاقرأ جداول زمنية للمدرسة وللحافلات: متى تنتهي الحصة، وكم تدوم الفرصة أو الرحلة، وأي حافلة تركب.
- اختبار فرضية بسيطة، والتغاير، وطريقة المربعات الصغرىقرّر كم صورة تجعل فرضية «القطعة النقدية سليمة» غير معقولة، واحسب التغاير ومعامل الارتباط لخمس نقاط، وجد المستقيم الذي مجموع مربعات أخطائه أصغر ما يمكن.
- الصفة المشتركة والتصنيفجد الصفة المشتركة بين أشياء مجموعة، وصنّف أشكالًا حسب صفتين معًا، وجد الشكل المختلف.
- قراءة البيانات بعين ناقدةقارن بين مجموعات، واكتشف تأثير سيمبسون، واحكم على عينة، وميّز بين النسبة المئوية ونقاط النسبة وبين الارتباط والسبب.
- التكرار المطلق والتكرار النسبينظّم نتائج استطلاع في جدول علامات عدّ، واحسب التكرار النسبي كسرًا وعددًا عشريًا ونسبةً مئويةً، وقارن بين مجموعتين مختلفتين في العدد.
- التمثيلات البيانية المضلِّلةاكتشف التمثيلات التي تعطي انطباعًا خاطئًا، مثل المحور المقطوع أو الصور المختلفة الحجم، وارسمها بأمانة، واختر عناوين تؤيدها البيانات.
- التمثيلات والعينات المضلِّلةشاهد كيف يغيّر المحور المقطوع المخطط، واختر التمثيل المناسب لعبارة، واحكم هل عينة استطلاع تمثّل المجموعة كلها، واكتشف أن المتوسط نفسه قد يخفي تشتتًا مختلفًا جدًا.
- التوزيع الطبيعي وقواعد σاضبط μ وσ لمنحنى غاوس، واستعمل قواعد σ: ٦٨٫٣٪ و٩٥٫٤٪ و٩٩٫٧٪.
الاحتمال
١٨
- الفرصة: أكيد، ممكن، مستحيلاسحب قطعاً من كيس، وأدر القرص الدوّار، وارمِ حجر النرد. قل هل كل حدث أكيد أو ممكن أو مستحيل.
- الاحتمال التجريبي والاحتمال النظريأدر القرص، وارمِ غطاء القارورة وحجر النرد: ١٠ مرات، ثم ١٠٠ مرة، ثم ١٠٠٠ مرة. وشاهد التكرار النسبي يستقر قرب الاحتمال.
- فضاء العينة والأحداث المركّبة والحدث المتمماكتب كل نتائج قطعة نقدية مع قرص دوّار، وقطعتين نقديتين، وحجري نرد. جد الخانات المناسبة في جدول ٦ × ٦، واحسب احتمال ألّا يقع حدث من احتمال وقوعه.
- مخطط فن والأحداث والجدول ذو المدخلينصنّف صفاً من ٣٠ تلميذاً بحسب كرة القدم والشطرنج في مخطط فن، وانقل البيانات نفسها إلى جدول ذو مدخلين وبالعكس، وانظر إلى الأحداث (حدث) على أنها مجموعات، واحسب احتمال «أو» بقاعدة الجمع.
- شجرة الاحتمالات ومبدأ الضرب والأحداث المستقلةارسم أشجاراً لتعدّ الملابس ونتائج سباق، واكتب الاحتمالات على الفروع، واضرب على طول المسار، واجمع المسارات، وانظر ماذا يتغيّر عندما لا نعيد الخرزة.
- قواعد الاحتمال والحالات المستمرة والعدد المتوقعاجمع احتمالات النتائج التي لا تقع معًا، واعرف أيّ القوائم يمكن أن تكون احتمالات، واحسب الاحتمال بوصفه جزءًا من طول، وتوقّع كم مرة سيحدث.
- الاحتمال المشروطاحسب احتمال حدث عندما نعرف سلفًا أن حدثًا آخر وقع، بالجدول ومخطط فن والشجرة، وافهم لماذا يهمّ ترتيب «بشرط»، وتعرّف الأحداث غير المستقلة.
- الأحداث المستقلة والاحتمال الكلياختبر بجدول هل حدثان مستقلان، وافهم لماذا لا يكون حدثان لا يقعان معًا مستقلين، واجمع مسارات الشجرة لتجد احتمال حدث يقع من عدة طرق.
- المتحول العشوائي والأمل الرياضيأعطِ كل نتيجة لحجري نرد عددًا، وأوجد احتمال قيم هذا العدد، واحسب متوسط حجر نرد واحد، وقرّر كم تساوي لعبة في كل رمية.
- الاحتمال غير المتساوي وقانون بايزفي الحالات التي لا تتساوى فرصها أعطِ كل حالة وزنًا واجمع. ثم اقرأ الشجرة بالعكس: إذا وجدنا برغيًّا معيبًا فمن أيّ آلة هو؟
- القانون الحداني وقانون بواسونعُدّ مسارات الشجرة التي فيها k نجاحًا بالضبط، وانظر من أين تأتي صيغة القانون الحداني، واستعمل صيغة بواسون للأحداث التي تقع عشوائيًا.
- التوزيع الطبيعي والدرجة المعياريةعلّم على محور الأعداد بعدَ القيمة عن المتوسط بوحدة الانحراف المعياري، وطبّق قاعدة ٦٨ – ٩٥ – ٩٩٫٧، واحسب الدرجة المعيارية، واوجد احتمال أحد الطرفين.
- متوسط العينة ونسبة العينة ونظرية النهاية المركزيةلاحظ أن متوسطات العينات أقل تشتتًا بكثير من القيم المفردة، واحسب الخطأ المعياري للمتوسط وللنسبة، واستعمل نظرية النهاية المركزية لإيجاد احتمال.
- تباين المتغير العشوائي والتوزيع الهندسي ومتراجحة تشيبيشيفاحسب التباين من جدول التوزيع، وأوجد تباين مجموع متغيرين مستقلين، وأوجد احتمال «حتى أول نجاح»، وقيّد الانحراف بمتراجحة تشيبيشيف.
- الاحتمال الهندسي والكثافة والمتغيرات العشوائية المستمرةأوجد احتمال أن تقع نقطة عشوائية في جزء من شكل أو قطعة أو قوس بنسبة القياسات، وافهم الكثافة، وتعرّف التوزيعين المنتظم والأسّي.
- الاحتمال والتوافيقجد احتمال حدث بالقانون P(A) = m ÷ n عندما نعدّ الحالات بالتوافيق C(n, k) والتباديل P(n, k).
- تقدير π بنقاط عشوائية وبالشرائحعُدّ النقاط العشوائية داخل ربع دائرة لتقدّر π، وانظر كيف يقل التشتت حين تزيد النقاط، وقارن بطريقة الشرائح.
- اختبار الدلالة من طرف واحداكتب الفرضية الصفرية H₀، وأوجد منطقة الرفض عند مستوى ٥٪، وقدّر الخطأ من النوع الأول، واقرأ النتيجة قراءة صحيحة.
المجموعات والمنطق
٢٣
- المجموعات: العناصر، والمجموعات الجزئية، والاجتماع، والتقاطع، والمتممةوزّع بطاقات الأعداد في أشكال مخطط فن البيضوية، واكتب المجموعات بين قوسين { }، وظلّل الاجتماع والتقاطع والفرق، وعُدّ بمساعدة المخطط.
- الترتيب والمجموعات: التبديلات والتوافيقنمِّ شجرة الحالات وعُدّ مَن يمكن أن يكون الأول والثاني، ورتّب أصدقاءك في صف، وانظر لماذا تُعدّ مجموعة من الأشخاص أقل من ترتيب.
- مبرهنة ذي الحدّين ومثلث باسكالانظر إلى (a + b)³ على أنه جداء ثلاثة أقواس، وعُدّ المسارات التي تصنع كل حدّ، واقرأ المعاملات من مثلث باسكال، وطبّقها على نشر عبارات فيها أعداد.
- العدّ دون تكرار ومبدأ برج الحمامعدّ تلاميذ ناديين دون أن تعدّ المشتركين مرتين، وعدّ مضاعفات ٢ أو ٣، وبمبدأ برج الحمام تأكد أن شيئين سيقعان في صندوق واحد.
- الجملة المفتوحة والمجموعات الجزئية وقوانين المجموعاتميّز القضية من الجملة المفتوحة، وكوّن مجموعة حلول جملة مفتوحة، وعدّ المجموعات الجزئية، وظلّل قانوني التوزيع والامتصاص على مخطط فن.
- القضايا و«و» و«أو» و«ليس» و«إذا … فإن …»ميّز الجمل التي هي قضايا، واستعمل «و» و«أو» و«ليس» بشكل صحيح، وافحص وعدًا من النوع «إذا … فإن …»، وجد عكس النقيض.
- الأسوار والاستدلال الصحيح وقانونا دي مورغانانفِ عبارة «كل»، ومثّل «كل مضاعف للعدد ٦ هو مضاعف للعدد ٣»، وميّز الاستدلال الصحيح من غير الصحيح، وطبّق قانوني دي مورغان على المجموعات.
- البرهان: المباشر والحالات والخلف والتدريجأثبت بالجبر أن مجموع عددين فرديين زوجي، وافحص ادعاءً بتقسيمه إلى حالات، وأثبت بالخلف أنه لا يوجد أكبر عدد زوجي، وأوجد خطوة التدريج لمجموع الأعداد الفردية.
- الثنائية المرتبة والعلاقة وعلاقة التكافؤمثّل A × B بنقاط، واختر علاقة، واقلبها لتحصل على العلاقة العكسية، وانظر لماذا تكون «الباقي نفسه» علاقة تكافؤ.
- العد مع التكرار: التبديلات مع التكرار والتوزيع على مجموعات والنجوم والخطوطرتّب بلّيات متشابهة في صف، وعدّ رموزًا فيها أرقام مكررة، ووزّع التلاميذ على غرف، وأوجد عدد طرق اختيار الزهور من عدة أنواع بالنجوم والخطوط.
- كتابة المجموعة بالرموز والمجموعات غير المنتهيةتعرّف المجموعات ℕ وℤ وℚ وℝ، واكتب عناصر مجموعة من شرطها، واكتب شرط مجموعة، وانظر لماذا يتساوى «حجم» الأعداد الزوجية والأعداد الطبيعية.
- أمثال ثنائي الحد ومثلث باسكال والبرهان بالعدّقسّم مجموعات من أصدقائك إلى فئتين، وأثبت قاعدة مثلث باسكال بالعدّ، وانظر لماذا يكون مجموع كل صف قوة للعدد ٢.
- البيان: الرأس والضلع والدرجةاقرأ البيان: أوجد درجة كل رأس، وقارن مجموع الدرجات بعدد الأضلاع، وانظر لماذا لا يوجد بيان معيّن أحيانًا.
- البيان: المجموعة المهيمنةضع المحطات بحيث تُغطّى كل نقاط الخريطة، وجد أقل عدد لازم، أي عدد الهيمنة للبيان.
- مبدأ الجمع ومبدأ الضرب، والتبديلات والتراتيب والتوافيقميّز مبدأ الجمع من مبدأ الضرب، وطبّق قوانين تبديلات n عنصرًا وتراتيب r من n والتوافيق، وحُلّ معادلة فيها عاملي.
- مسائل العدّ: القائمة والمخطط الشجري ومبدأ الضربجد كل الطرق لوضع ثلاث بنات في الطوابق، وارسم المخطط الشجري للحالات، وافهم لماذا نجد عدد الحالات بالضرب.
- مبدأ الجمع ومبدأ الضرببكم طريقة نختار «أ أو ب» و«أ و ب»؟ مبدأ الجمع، ومبدأ الضرب، والثنائيات (a, b)، وخريطة الطرق، ومسائل الأرقام.
- صحيح أم خطأاقرأ جملًا عن الفاكهة فيها كلمات «كل» و«جميع» و«يوجد»، وقرّر هل هي صحيحة.
- إذا … فإن …اشطب الأعداد بحسب الأدلّة، واستنتج من قاعدة «إذا … فإن …»، وابنِ سلسلة من الاستدلال.
- المخطط الموجَّه وحل المسائل بالمخططاتاقرأ مخططًا موجَّهًا، وعُدّ المصافحات ومباريات الدوري، وأوجد أقصر طريق بتحويل المسألة إلى مخطط.
- الاتصال والمسارات والدورات ورسم البيانعُدّ المركّبات المتصلة في بيان، وأوجد الرؤوس الفردية، وقرّر هل يمكن رسم البيان دون رفع القلم.
- الشرط اللازم والشرط الكافيميّز متى يكون الشرط لازمًا ومتى يكون كافيًا ومتى يكون لازمًا وكافيًا، وانقض ادعاءً خاطئًا بمثال مضاد.
- الأشجار والبيانات المستويةتعرّف الأشجار، وعُدّ أضلاع الشجرة والشجرة الشاملة، وعُدّ أوجه بيان مستوٍ بصيغة أويلر.
الأعداد العقدية
٤
- الأعداد العقدية: i، الجمع والضرب والقسمةتعرّف العدد i الذي مربعه −١، واجمع الأعداد العقدية كأنها نقاط في المستوي، واضربها كما تضرب القوسين، واقسم باستعمال المرافق.
- معادلات الدرجة الثانية وكثيرات الحدود ذات الجذور العقديةاعرف لماذا لا جذر حقيقيًا للمعادلة x² + ٤x + ١٣ = ٠، وحلّ معادلات جذورها عقدية، وضع الجذور على المستوي، وأوجد الجذر الناقص في معادلة من الدرجة الثالثة.
- مخطط أرغاند: الطويلة والزاوية والدورانانظر إلى الأعداد العقدية كنقاط في مخطط أرغاند، وأوجد طويلتها وزاويتها، وأوجد نظيرها بالنسبة إلى المحور الحقيقي، واضربها بالإدارة والتكبير.
- القوى والجذور والدوائر في مخطط أرغاندانظر إلى e^(iθ) كنقطة على الدائرة المثلثية، وارفع الأعداد إلى قوى بمبرهنة دو موافر، وضع الجذور الرابعة لعدد كرؤوس مربع، وارسم الدوائر بالعلاقة |z − c| = r.
المصفوفات
٦
- المصفوفة: الرتبة والعناصر والمصفوفات الخاصةاقرأ المصفوفة كجدول: جِد العنصر من سطره وعموده، وقل رتبتها، وابنِ المصفوفة الصفرية ومصفوفة الواحدة والمصفوفة القطرية.
- جمع المصفوفات وضربها في عدد وفي مصفوفة، والمنقولاجمع مصفوفتين من الرتبة نفسها واطرحهما، واضربهما في عدد، واضرب سطرًا في عمود، وحوّل السطور إلى أعمدة.
- المحدداحسب محدد مصفوفة ٢ × ٢ و٣ × ٣، وانظر ماذا يفعل تبديل مكان سطرين، وكيف يغيّر المحدد المساحات.
- مقلوب المصفوفة وحلّ جملة معادلاتأوجد مقلوب مصفوفة ٢ × ٢ بالمحدّد، ومقلوب مصفوفة ٣ × ٣ بعمليات السطور، واستعمله في حلّ جملة معادلات.
- قاعدة كرامر وطريقة غاوسحلّ جملة معادلتين بالمحددات (كرامر)، ثم بعمليات على السطور (غاوس)، وانظر كيف يعطي المحدد الصفري مستقيمين متوازيين.
- المصفوفة بوصفها تحويلًاالمصفوفة تنقل نقاط المستوي: طبّقها على نقطة، وابنِها من صورتي i وj، وابحث عن نقاطها الثابتة.
التفاضل والتكامل
٢١
- نهاية: الاقتراب من عدداملأ جدول قيم تابع غير معرّف عند نقطة، قرب هذه النقطة، واقرأ النهاية من الخط البياني، وافهم لماذا يجب أن تتساوى النهاية من اليسار والنهاية من اليمين.
- حساب النهاية: القواعد، و٠ على ٠، وتابع الجيباحسب نهاية المجموع والجداء من الخطوط البيانية، وفُكّ الصيغة غير المعيّنة ٠ على ٠ بالتحليل والاختصار، وتعرّف نهاية الجيب.
- النهاية اللانهائية والنهاية عند اللانهايةافهم لماذا يكبر ١x٢ قرب الصفر، وارسم المقارب الأفقي، وفُكّ الصيغتين غير المعيّنتين ∞ ÷ ∞ و ∞ − ∞.
- الاستمرار ومعدّل التغيّرانظر متى نستطيع رسم الخط البياني دون رفع القلم، وجد k ليصير التابع مستمرًّا، وصغّر المجال أكثر فأكثر حتى يصل معدّل التغيّر المتوسط إلى معدّل التغيّر اللحظي.
- من القاطع إلى المماس: تعريف المشتققرّب النقطة Q من P على المخطط، وانظر كيف يقترب ميل القاطع في الجدول من ميل المماس، وارسم المماس، وافهم لماذا لا يوجد مشتق عند الزاوية.
- قواعد الاشتقاقجرّب قاعدة القوة وقاعدة الجداء وقاعدة خارج القسمة وقاعدة السلسلة على نقطة بالأعداد، وتحقّق منها بالمماس والناظم على المخطط.
- مشتق الجيب والأسّي واللوغاريتم والتوابع العكسيةادرس مشتق sin x قرب الصفر، وارسم المماس للتابع ex، وأوجد مشتق ln x بتناظر ln x وex بالنسبة إلى المستقيم y = x، وطبّق قاعدة مشتق التابع العكسي على arctan.
- الاشتقاق الضمني والوسيطي والمشتق الثاني والمعدّلات المرتبطةجد ميل الدائرة عند نقطة بالاشتقاق الضمني، واحسب ميل منحنٍ وسيطي، وخذ المشتق الثاني، وانظر كيف يرتبط تغيّر الضلع بتغيّر المساحة.
- معادلة المماس، والقيمة العظمى والصغرى لتابع على مجالاكتب معادلة المماس بالصيغة y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀)، وأوجد المماس الموازي لمستقيم والمماس المار بنقطة خارج المنحنى، ثم أوجد أكبر قيمة وأصغر قيمة لتابع على [a,b].
- إشارة المشتق وشكل الخط البيانيجد مجالات التزايد والتناقص من إشارة f′(x)، وحدّد القيم الحدّية على الخط البياني، وجد نقطة الانعطاف بـ f″(x)، واحسب القيمة الكبرى.
- مبرهنة رول، قاعدة لوبيتال، ومنشور ماكلورينأوجد النقطة التي مماسها أفقي، واحسب نقطة مبرهنة القيمة المتوسطة، واحسب نهاية كسر بسطه ومقامه ٠ بقاعدة لوبيتال، وأوجد أحد أمثال منشور ماكلورين للتابع cosh(x).
- تقدير المساحة ومجموع ريمان وقاعدة شبه المنحرفقدّر المساحة تحت y = x٢ بمستطيلات رفيعة وبأشباه منحرفات، وانظر إلى أيّ عدد تقترب التقديرات كلما صارت الشرائح أرفع.
- من التابع الأصلي إلى التكامل المحددأوجد التابع الأصلي وافهم لماذا نحتاج +C، واحسب التكامل المحدد بالعلاقة F(b) − F(a)، وأوجد القيمة المتوسطة لتابع، وتعرّف تكامل ١x.
- طرائق التكاملبدّل المتحول والحدود معًا، وكامل بالتجزئة، وجزّئ الكسر إلى كسور بسيطة، واختر تغيير متحول مثلثيًا، ثم قرّر هل للتكامل المعتلّ قيمة.
- المساحة والحجم وطول القوس بالتكاملبـالتكامل المحدد احسب المساحة تحت منحنٍ وبين منحنيين، وحجم جسم دوراني، وطول قوس، ومساحة منطقة قطبية.
- المعادلات التفاضليةاكتب معدّل تغيّر على شكل معادلة تفاضلية، وجد الحل y = Cekx على الخط البياني، وحلّ معادلة قابلة للفصل بشرط ابتدائي.
- رسم الخط البياني والقيم المثلىأوجد المقاربات والنقاط المهمة في الخط البياني، وحلّ مسائل مثل أكبر مساحة وأكبر حجم بإيجاد القيمة الكبرى.
- خطة دراسة تابع ورسم خطه البيانيادرس التابع وفق خطوات ثابتة: مجموعة التعريف، زوجي أم فردي، الجذور، التزايد والتناقص، القيم الحدّية؛ ثم حدّد النقاط المهمة في خطه البياني.
- جدول إشارة المشتق واتجاه التابعمن إشارة المشتق في كل مجال، بيّن بسهم أين يتزايد التابع ↗ وأين يتناقص ↘، ثم أوجد القيم الحدّية.
- من الخط البياني للتابع f إلى الخط البياني للتابع f′انظر أين ينعدم f′، واقرأ f′ من الخط البياني للتابع f، وأوجد نقطة الانعطاف على أنها قيمة حدية لـ f′، وحدّد لحظة أسرع نمو.
- تابع التكامل والمبرهنة الأساسيةاجمع المساحات الجبرية حتى x، وأوجد القيمة الحدية لتابع التكامل، واحسب بالعلاقة J(x) = F(x) − F(a).
حل المسائل
١٧
- حل المسائل: ارسم شكلاًاقرأ المسألة. قل ماذا تعرف وماذا تريد أن تجد. ارسمها، ثم حلّها.
- حل المسائل: كتابة جملة عدديةحوّل القصة إلى جملة عددية. ضع مربعاً □ مكان العدد الذي لا تعرفه، ثم جده.
- حل المسائل: النمذجة والنمط والاستبعاد والتخمينأربع طرائق لحل مسألة: اكتب كل الحالات بترتيب، وجد النمط، واشطب ما لا يمكن أن يكون، وخمّن وتحقّق وحسّن تخمينك.
- حل المسائل: التجزئة والمسألة الأبسط والقائمة المنظمةجزّئ مسألة كبيرة إلى خطوات، وحلّ نسخة أبسط أولاً، واكتب كل الحالات بترتيب، واختر خطة الحل بنفسك.
- حل المسائل: استراتيجيات بمسائل الصف السابعتدرّب على القائمة المنظّمة وتجزئة المسألة وحل مسألة أبسط، بمسائل عن النقود وأعداد أكبر.
- حل المسائل: مسألة الربح والمعلومات الكافيةجد ربح البائع بجدول، وانظر أي أعداد المسألة لازمة وأيها لا، أو أي عدد ناقص.
- المسألة: الكتابة المختصرة والحلاكتب المعطيات باختصار، وابنِ مساواة، وحلّ المسألة في خطوة أو خطوتين، ثم اكتب الجواب.
- المسائل: كم مرة، كم أكثر، المسألة العكسيةكبّر عددًا عدة مرات، وقارن بـ«كم مرة»، واحلّ المسائل غير المباشرة والعكسية.
- مسائل الجدول: السعر والعدد والثمناكتب الملخص القصير في جدول «السعر، العدد، الثمن»، وحلّ مسائل المجموع والفرق ونسبة جداءين.
- المسائل متعددة الخطواتميّز بين المسألة البسيطة والمسألة متعددة الخطوات، واكتب الحل خطوة بعد خطوة وعلى شكل عبارة بأقواس.
- مسائل متعددة الخطوات بالضرب والقسمةحلّ مسائل متعددة الخطوات: الباقي، ومجموع نواتج الضرب وفرقها، وأكبر أو أصغر بعدة مرات.
- قارن بين مسألتين: ماذا تغيّر؟ضع مسألتين متشابهتين جنبًا إلى جنب، وتوقّع كيف يتغيّر الحل، ثم حلّ المسألة المتغيّرة.
- المعطيات والحل والجواباكتب المسألة كما تُكتب في الدفتر: المعطيات، المطلوب، الحل (بأسئلة، أو بعمليات، أو بعبارة واحدة) والجواب.
- ألغاز منطقيةاحلّ ألغاز التفكير: املأ جدولًا من الدلائل، وجد الصادقين والكاذبين، واسكب الماء بين دلوين، وجد الفاعل.
- التعليمات والخوارزمياتنفّذ التعليمات خطوة خطوة، وشغّل آلة خوارزمية، ورتّب خطوات خطة بالترتيب الصحيح.
- الاستهلاك والتغيّراحلّ مسائل الاستهلاك في اليوم («الاستهلاك اليومي × عدد الأيام») ومسائل التغيّر («قبل − بعد») على خطوات، واكتب الجواب.
- مسائل فيرمي: تقدير أم جواب دقيق؟قدّر أعدادًا كبيرة على خطوات بالاعتماد على قياسات مرجعية، وقرّب لتقدّر بسرعة، وقرّر متى نحتاج إلى جواب دقيق.