Soluzioni generali delle equazioni goniometriche
La retta y = b incontra il grafico di seno, coseno o tangente in infinitamente tanti punti. Scrivi tutte le soluzioni con una formula con k ∈ Z e, in un’equazione che si riconduce a una di secondo grado, scarta la radice impossibile.
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Guida
Le equazioni goniometriche elementari si studiano nel liceo scientifico, nel secondo biennio (classe quarta). Qui cos x = b si risolve dal grafico: la retta y = b incontra la curva del coseno se e solo se |b| ≤ 1. Sull’asse delle ascisse ci sono numeri ordinari, quindi π ≈ 3,14.
Per cos x = b con |b| ≤ 1 le soluzioni sono x = ±arccos b + 2kπ,k∈Z, dove arccos b sta in [0,π] e arccos (−b) = π − arccos b. I casi particolari cos x = 0, cos x = 1, cos x = −1 si scrivono senza ±.
Per sen x = b: x = (−1)karcsen b + kπ,k∈Z. Per tg x = b: x = arctg b + kπ,k∈Z; per cotg x = b: x = arccotgb + kπ,k∈Z.
Quando un’equazione si riconduce a una di secondo grado in sen x o cos x, la sostituzione t = sen x dà dei valori di t; ciascuno deve stare in [ − 1,1], altrimenti non ci sono soluzioni.