Somme particolari, differenze e problemi
Costruisci la somma dei quadrati, calcola una somma con il metodo delle differenze, trova il termine generale di una successione quadratica e risolvi un problema concreto con una progressione aritmetica.
📖 Parti da qui: leggi i passi della «Lezione» in ordine (1, 2, 3 …) e rispondi a ogni domanda. Poi continua con «Esercizi».
- Italia: classe 11
- Portogallo: classe 11
- Regno Unito: Year 12
- Iran: classe 12
Guida
Questo tema va oltre il programma: la somma dei quadrati dei numeri naturali, il metodo delle differenze e le successioni quadratiche non fanno parte delle Indicazioni nazionali. Le progressioni aritmetiche e la loro somma si studiano nel liceo scientifico, nella classe 4; il resto si incontra a volte come esercizio di approfondimento.
Somma dei quadrati: Σk2 = n(n + 1)2n + 16 per k da 1 a n. La somma dei numeri naturali è nn + 12 e la somma dei cubi è il suo quadrato. Queste formule accorciano le somme lunghe.
Metodo delle differenze: se ogni termine si scrive come «differenza di due cose», i termini centrali si annullano. Per esempio 1k(k + 1) = 1k − 1k + 1.
In una successione quadratica le differenze prime non sono costanti, ma lo sono le differenze seconde. Il termine generale è an2 + bn + c e la differenza seconda vale 2a.
Problemi: si decide prima se il problema è aritmetico o geometrico, poi si trovano il primo termine, la ragione e il numero dei termini, e si mettono nella formula.
Errori frequenti: confondere la somma dei quadrati con il quadrato della somma; lasciare termini senza semplificarli nel metodo delle differenze; scambiare la differenza prima con il termine generale; usare n al posto di n − 1 in una somma aritmetica.