Poligoni regolari e circonferenza exinscritta di un triangolo
Trova il lato e l'apotema di un poligono regolare a partire dal raggio della circonferenza circoscritta o inscritta, poi il raggio della circonferenza exinscritta di un triangolo.
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Guida
Seno, coseno e tangente di un angolo acuto si studiano nella secondaria di primo grado (classe 3) e soprattutto nel liceo; i poligoni regolari inscritti e circoscritti si incontrano già alle medie. Le formule del lato e dell'apotema in funzione di R e di r sono un approfondimento; la circonferenza exinscritta di un triangolo compare nei libri del liceo come tema di approfondimento. Un poligono regolare è inscritto in una circonferenza e circoscritto a un'altra; le due circonferenze hanno lo stesso centro. Indichiamo con R il raggio della circonferenza circoscritta, con r il raggio della circonferenza inscritta (l'apotema) e con n il numero dei lati.
Valgono an = 2Rsen(180°/n), r = Rcos(180°/n) e, in funzione di r, an = 2rtg(180°/n). L'area è A = 12Pr, dove P è il perimetro.
La circonferenza exinscritta di un triangolo è tangente a un lato e ai prolungamenti degli altri due. Il suo raggio è ra = Ap − a, dove A è l'area, p il semiperimetro e a il lato a cui la circonferenza è tangente.
Le figure sono in scala: 1 quadretto rappresenta 1 cm.