Rette parallele che incontrano un piano e proiezione parallela

Rette parallele che incontrano un piano si incontrano nella geometria dello spazio al liceo scientifico (classe terza), con il parallelismo tra rette e piani. Il segmento medio di un triangolo, la base media di un trapezio e il teorema di Talete si studiano prima, alla scuola secondaria di primo grado e al primo biennio. La proiezione parallela con questi teoremi non è un argomento tipico dei programmi italiani: qui serve come applicazione di quei teoremi.

Se il segmento AB ha in comune con il piano α il punto A, e per i punti B e C si tracciano rette parallele, allora CC₁ è un segmento medio del triangolo ABB₁ e BB₁ = 2×CC₁.

Se AB non incontra α, allora AA₁B₁B è un trapezio e CC₁ (C punto medio di AB) è la sua base media: CC₁ = AA₁ + BB₁2.

Proiezione parallela: per ogni punto di una figura F si traccia la retta parallela a una retta l che incontra il piano α. I punti in cui queste rette incontrano α formano la figura F₁, la proiezione parallela di F su α nella direzione di l. F₁ si chiama anche immagine di F.

Teorema 1. La proiezione di una retta è una retta, di un segmento è un segmento. Teorema 2. La proiezione di due rette parallele sono due rette parallele oppure una sola retta. Teorema 3. Il rapporto tra le proiezioni di segmenti su una stessa retta o su rette parallele è uguale al rapporto tra i segmenti: A₁B₁C₁D₁ = ABCD.