Grafici di y = ⁿ√x e potenze con esponente razionale
Confronta i grafici di ³√x, ⁴√x e √x, trova il dominio di una radice n-esima e di una potenza con esponente razionale, e confronta i numeri con la monotonia.
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Guida
Le radici n-esime e le potenze con esponente razionale si studiano nel liceo (secondo biennio), insieme alle funzioni irrazionali. La radice n-esima aritmetica di a si scrive ⁿ√a. La funzione y = ²ᵏ⁺¹√x (radice di indice dispari) è definita su tutta la retta: il grafico passa per l'origine, la funzione è dispari e crescente su ℝ, dominio ℝ e insieme immagine ℝ.
La funzione y = ²ᵏ√x (radice di indice pari) è definita per x ≥ 0: dominio [0; +∞[, insieme immagine [0; +∞[; è crescente, né pari né dispari, e il grafico parte da (0, 0).
La funzione y = xr, con r razionale, è una potenza con esponente razionale. Se la frazione ridotta ai minimi termini mn è positiva, il dominio è [0; +∞[; se è negativa, il dominio è ]0; +∞[.
Una funzione crescente serve per confrontare: per a e b non negativi, da a < b segue ⁿ√a < ⁿ√b.