Funzioni polinomiali: andamento agli estremi, zeri e termine
Leggi l'andamento agli estremi dal grado e dal coefficiente direttivo, distingui zeri semplici e doppi, risolvi un'equazione biquadratica e trova un termine a partire da un grafico.
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Guida
Una funzione polinomiale f(x) = anxn + … + a0 si comporta come il suo termine di grado massimo anxn quando |x| è grande. Grado pari: i due estremi vanno nella stessa direzione; grado dispari: gli estremi vanno in direzioni opposte. Il segno di an dice se l'estremo di destra va verso l'alto o verso il basso.
Se il fattore (x − x0) compare due volte, x_0 è uno zero doppio: il grafico tocca l'asse x e non lo attraversa. Uno zero semplice viene attraversato.
Un'equazione come x4 − 5x2 + 4 = 0 è biquadratica. Si pone z = x2, si risolve z2 − 5z + 4 = 0 e poi si torna indietro: x2 = z.
Conoscendo gli zeri si scrive f(x) = a·(x − x1)(x − x2)… e si trova a da un altro punto. L'argomento si incontra nel liceo: le equazioni biquadratiche si risolvono nel primo biennio e nel secondo biennio, scomporre in fattori e studiare gli zeri fa parte dello studio di funzione; l'andamento agli estremi si legge di solito con i limiti nel quinto anno. Qui si legge direttamente dal grado e dal segno.