Variance d'une variable aléatoire, loi géométrique et inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Calcule une variance à partir d'un tableau de loi, trouve la variance d'une somme de variables indépendantes, calcule la probabilité de « jusqu'au premier succès » et majore un écart avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 11
- Portugal : classe 11
- Italie : classe 11
- Russie : classe 10
Conseils pour les adultes
La variance et l'écart type d'une variable aléatoire, ainsi que la loi binomiale (E(X) = np, V(X) = npq), se travaillent en 1re (spécialité) et en Terminale ; l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et la loi des grands nombres figurent au programme de Terminale (spécialité). La loi géométrique n'est pas au programme français : c'est un prolongement.
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance : V(X) = E(X²) − (E(X))². Pour des variables indépendantes, V(X + Y) = V(X) + V(Y), et un facteur constant sort au carré : V(aX) = a²V(X). Pour le nombre de succès en n épreuves, E(X) = np et V(X) = npq. Si l'on répète les épreuves jusqu'au premier succès, P(X = k) = q^(k − 1) p. Bienaymé-Tchebychev : P(|X − E(X)| ⩾ ε) ⩽ V(X) ÷ ε².
Erreurs fréquentes : oublier de soustraire le carré de l'espérance, ne pas élever le facteur au carré, et multiplier là où il faut additionner les variances.