Céva, Ménélaüs, Ptolémée et la droite d'Euler
Quatre résultats pour aller plus loin : quand trois droites issues des sommets d'un triangle sont concourantes, quand trois points sont alignés, le produit des diagonales d'un quadrilatère inscrit dans un cercle, et la droite d'Euler.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Russie : classe 9
- Ukraine : classe 8
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français : ces quatre théorèmes sont un complément, pour les curieux. Dans le triangle ABC, les segments [AA'], [BB'] et [CC'] qui joignent les sommets à des points A', B' et C' des côtés opposés s'appellent des céviennes.
Théorème de Céva : les droites (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes si et seulement si AC'/C'B×BA'/A'C×CB'/B'A = 1. Théorème de Ménélaüs : les points A', B' et C', deux sur des côtés et un sur le prolongement d'un côté, sont alignés si et seulement si la même égalité est vraie.
Théorème de Ptolémée : dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés : AB×DC + BC×AD = BD×AC.
Droite d'Euler : dans tout triangle, le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité M et l'orthocentre H (point de rencontre des hauteurs) sont alignés, et HM = 2×MO.