Un point équidistant des sommets ou des côtés d'un polygone
Si M est à égale distance des sommets d'un triangle, son projeté est le centre du cercle circonscrit ; à égale distance des côtés, le centre du cercle inscrit. Trouve la distance de M au plan.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Ukraine : classe 10
Conseils pour les adultes
Ce thème relève de la géométrie dans l'espace du lycée (2de, puis Terminale : droites et plans orthogonaux, projeté orthogonal) ; le « théorème des trois perpendiculaires » n'est pas nommé tel quel au programme français, mais on s'en sert en raisonnant dans des triangles rectangles. Le problème-clé : un point équidistant.
Si un point M est à égale distance de tous les sommets d'un polygone, son projeté orthogonal sur le plan du polygone est le centre du cercle circonscrit : les obliques égales MA = MB = MC ont des projections égales OA = OB = OC.
Si M est à égale distance des droites qui portent les côtés, son projeté est le centre du cercle inscrit (par le théorème des trois perpendiculaires).
On travaille ensuite dans le triangle rectangle MOA, où MO est la perpendiculaire, MA l'oblique et OA la projection : MO = √(MA2 − OA2), d'après le théorème de Pythagore.