Ensembles définis par une condition, et ensembles infinis mis en correspondance
Reconnais ℕ, ℤ, ℚ et ℝ, écris les éléments d'un ensemble à partir de sa condition, écris la condition d'un ensemble et comprends pourquoi les nombres pairs et les entiers naturels sont « aussi nombreux ».
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- France : classe 10
- Portugal : classe 10
- Italie : classe 9
- Ukraine : classe 8
- Iran : classe 9
Conseils pour les adultes
Ensembles de nombres (cycle 4, puis 2de) : ℕ les entiers naturels, ℤ les entiers relatifs, 𝔻 les nombres décimaux, ℚ les nombres rationnels et ℝ les nombres réels, avec ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble est contenu dans le suivant. En France, ℕ contient 0 : ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}. Dans cet atelier, comme dans l'activité de départ, on compte à partir de 1 : on écrit donc ℕ* = {1 ; 2 ; 3 ; …} quand 0 n'est pas permis. Les nombres décimaux sont ceux qui ont une écriture décimale finie (0,5 ou 2,75) ; 1/3 est rationnel mais pas décimal.
On peut écrire un ensemble avec une condition : A = {x ∈ ℤ | −2 < x ⩽ 3} se lit « A est l'ensemble des entiers relatifs x tels que x est strictement plus grand que −2 et inférieur ou égal à 3 » (la barre | veut dire « tel que »). Ses éléments sont {−1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3}. Cette notation « par compréhension » est surtout utilisée à partir de la 2de ; au collège, on écrit les éléments entre accolades.
Fais attention au signe : < laisse le nombre de côté et ⩽ le garde. Et ℝ ne se décrit pas en listant ses éléments ; on l'écrit avec une condition ou avec des intervalles.
Pour comparer deux ensembles infinis, on associe leurs éléments un à un. Si tous les éléments ont un partenaire et qu'aucun n'est laissé de côté, les ensembles sont « aussi nombreux » : n est associé à 2n. Cette idée dépasse le programme du lycée ; elle est proposée ici comme curiosité.