L'ellipse, l'hyperbole et une droite qui les rencontre
Trouve les foyers d'une ellipse et d'une hyperbole à partir de l'équation, construis une ellipse de centre quelconque, trace l'asymptote d'une hyperbole et étudie une droite par rapport à une parabole.
📖 Commence ici : lis les étapes de la « Leçon » dans l’ordre (1, 2, 3 …) et réponds à chaque question. Ensuite, passe à l’« Entraînement ».
- Portugal : classe 10
- Italie : classe 11
- Espagne : classe 11
- Iran : classe 12
- Afghanistan : classe 11
- Syrie : classe 10
- Palestine : classe 11
Conseils pour les adultes
Ce thème ne figure pas au programme français du lycée général (seule la parabole, courbe de y = ax2 + bx + c, y est étudiée, en 1re) ; il prolonge la géométrie repérée de la 2de et de la 1re. Une ellipse est l'ensemble des points dont la somme des distances à deux points fixes F et F′ (les foyers) vaut 2a. Quand le centre est l'origine, son équation est x2a2 + y2b2 = 1, avec c2 = a2 − b2 et pour foyers (±c;0). Pour un centre (h;k) : (x − h)2a2 + (y − k)2b2 = 1.
Une hyperbole est l'ensemble des points dont la différence des distances aux deux foyers vaut 2a en valeur absolue. Son équation est x2a2 − y2b2 = 1, avec c2 = a2 + b2. Attention : pour une ellipse, c est plus petit que a ; pour une hyperbole, il est plus grand. Ses asymptotes sont les droites y = ±ba(x − h) + k.
Pour étudier une droite par rapport à une conique, remplace y par l'expression donnée par la droite dans l'équation de la conique. Calcule le discriminant de l'équation du second degré obtenue : s'il est positif, il y a deux points d'intersection ; s'il est nul, la droite est tangente ; s'il est négatif, il n'y a aucun point d'intersection.