مساحت و حجم با ضرب خارجی

این کارگاه ادامهٔ بخش «ضرب داخلی و ضرب خارجی» فصل ۳ هندسهٔ ۳ دوازدهم است. اگر دو بردار a و b دو ضلع یک متوازی‌الاضلاع باشند، مساحت آن برابر اندازهٔ ضرب خارجی آن‌هاست، یعنی |a×b|. مساحت مثلثی که روی همان دو بردار ساخته می‌شود، نصف آن است.

سه بردار غیر هم‌صفحه یک متوازی‌السطوح می‌سازند. حجم آن برابر |a·(b×c)| است. این عدد را می‌توان به‌صورت قدر مطلق دترمینان ⁦۳ × ۳⁩ نوشت که سطرهایش مؤلفه‌های a و b و c هستند. اگر دترمینان صفر شود، حجم صفر است؛ یعنی سه بردار در یک صفحه‌اند.

اشتباه‌های رایج: فراموش کردن نصف کردن برای مساحت مثلث، فراموش کردن علامت منفی جملهٔ وسط در بسط دترمینان، و جمع کردن مؤلفه‌ها به جای گرفتن اندازهٔ بردار.