واریانس متغیر تصادفی، توزیع هندسی و نابرابری چبیشف

این کارگاه تکمیلی است و در کتاب‌های درسی ایران نیست. در ریاضی یازدهم (آمار و احتمال) فقط واریانس و انحراف معیار داده‌ها آمده است و این‌جا همان فکر را برای متغیر تصادفی ادامه می‌دهیم: واریانس، ویژگی‌های E و Var، توزیع‌های هندسی و دوجمله‌ای، نابرابری چبیشف و قضیهٔ برنولی.

واریانس نشان می‌دهد مقدارها چقدر دور امید ریاضی پخش‌اند: Var(X) = E(X^۲) − (E(X))^۲. برای متغیرهای مستقل Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) است و ضریب ثابت با توان ۲ بیرون می‌آید: Var(aX) = a^۲Var(X). برای تعداد موفقیت‌ها در n آزمایش E(X) = np و Var(X) = npq است. اگر آزمایش را تا اولین موفقیت تکرار کنیم، P(X = k) = q^{k − ۱}p می‌شود. چبیشف: P(|X − E| ≥ ε) ≤ Var(X) ÷ ε^۲.

اشتباه‌های رایج: فراموش کردن کم کردن مربع امید ریاضی، به توان ۲ نرساندن ضریب، و ضرب کردن به‌جای جمع کردن واریانس‌ها.