احتمال هندسی، چگالی و متغیر تصادفی پیوسته
احتمال این‌که یک نقطهٔ تصادفی در بخشی از یک شکل، پاره‌خط یا کمان بیفتد را به‌صورت نسبت اندازه‌ها پیدا کن، چگالی را بفهم و با توزیع یکنواخت و نمایی آشنا شو.
📖 از اینجا شروع کن: گام‌های «درس» را به ترتیب بخوان (۱، ۲، ۳ …) و به هر پرسش جواب بده. بعد با «تمرین» ادامه بده.
- روسیه: کلاس ۹
- آلمان: پایهٔ ۱۲
- فرانسه: پایهٔ ۱۲
- ایتالیا: پایهٔ ۱۱
راهنما
این کارگاه تکمیلی است و در کتاب‌های درسی ایران نیست. پیش‌نیازش احتمال هم‌شانس در ریاضی نهم و «آمار و احتمال» یازدهم است.
وقتی نقطه‌ای را تصادفی انتخاب می‌کنیم، احتمال افتادن آن در یک بخش برابر است با اندازهٔ آن بخش تقسیم بر اندازهٔ کل: طول، طول کمان یا مساحت. برای یک متغیر پیوسته، احتمال یک مقدار دقیق ۰ است؛ برای همین بازه را در نظر می‌گیریم. احتمال برابر مساحت زیر نمودار چگالی است و مساحت کل ۱ است.
توزیع یکنواخت روی [a, b]: f(x) = ۱ ÷ (b − a). توزیع نمایی (زمان انتظار): f(x) = λe−λx برای x ≥ ۰ و میانگین آن ۱ ÷ λ است. اشتباه‌های رایج: مقایسهٔ ضلع‌ها به‌جای مساحت‌ها، احتمال گرفتنِ چگالی، و اشتباه گرفتن λ با میانگین زمان.