روش هرون و عددهای گنگ

عددهای گویا و گنگ در کتاب‌های ریاضی هشتم و نهم آمده‌اند. روش هرون و برهان خلف برای گنگ بودن ریشهٔ دوم ۲ تکمیلی است و در کتاب‌های درسی ایران نیست. روش هرون ریشهٔ دوم را با یک مستطیل پیدا می‌کند: برای پیدا کردن √a از مستطیلی با مساحت a شروع کن؛ مثلاً برای ⁦a = ۶⁩ مستطیل ۳ در ۲. ضلع x را با میانگین x و ⁦a ÷ x⁩ عوض کن. مستطیل تازه به مربع نزدیک‌تر است.

با نماد: x_۱ = ۱۲·(x_۰ + a ÷ x_۰). این مرحله را تکرار کن؛ رقم‌ها هر بار بیشتر ثابت می‌مانند. شکل‌ها با مقیاس کشیده شده‌اند: هر خانه ۱ سانتی‌متر است.

عددی گویا است که بتوان آن را به صورت کسر ⁦p/q⁩ نوشت که p و q عددهای صحیح‌اند. √۲ گویا نیست. برهانش برهان خلف است: فرض کن √۲ = pq و کسر ساده‌نشدنی باشد؛ نشان می‌دهیم p و q هر دو زوج می‌شوند و این با ساده‌نشدنی بودن کسر نمی‌خواند.