تابع انتگرال و قضیهٔ اساسی

این کارگاه تکمیلی است و در کتاب‌های درسی ایران نیست.

تابع انتگرال J_a(x) = ∫f(t)dt (انتگرال از a تا x) مجموع مساحت‌های جبری را بین a و x می‌دهد. مساحت بالای محور x مثبت و مساحت زیر آن منفی حساب می‌شود. مساحت هندسی همیشه مثبت است.

قضیهٔ اساسی: J_a'(x) = f(x). جایی که f مثبت است، J زیاد می‌شود و جایی که f منفی است، J کم می‌شود. اگر علامت f از + به − عوض شود، J آن‌جا ماکزیمم دارد. اگر f اکسترمم داشته باشد، J نقطهٔ عطف دارد.

اگر F یک تابع اولیه باشد، J_a(x) = F(x) − F(a). در مسئله‌های کلامی، اگر f آهنگ ورود آب باشد، J تغییر مقدار آب است؛ مقدار اولیه را باید جداگانه اضافه کنی.