ضرب سکالری وکتورها: اندازه، زاویه، مختصات

این کارگاه یک بخش اضافی است و در کتاب‌های درسی افغانستان نیست. زاویهٔ بین دو وکتور غیرصفر a و b زاویهٔ AOB است که در آن ⁦OA = a⁩ و ⁦OB = b⁩. آن را ⁦∠(a, b)⁩ می‌نویسیم، ۰° ≤ ∠(a,b) ≤ ۱۸۰°. اگر زاویه ⁦۹۰°⁩ باشد، وکتورها بر هم عمود اند.

ضرب سکالری حاصل ضرب اندازه‌ها در کوساین زاویهٔ بین شان است: ⁦a · b = |a| |b| cos ∠(a, b)⁩. مربع سکالری ⁦a · a⁩ را a² می‌نویسیم و ⁦a² = |a|²⁩. وکتورها وقتی بر هم عمود اند که ⁦a · b = ۰⁩ باشد.

برای ⁦a (a_۱;a_۲;a_۳)⁩ و ⁦b (b_۱;b_۲;b_۳)⁩: a·b = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳. از این‌جا cos∠(a,b) = a_۱b_۱ + a_۲b_۲ + a_۳b_۳√(a_۱^۲ + a_۲^۲ + a_۳^۲)·√(b_۱^۲ + b_۲^۲ + b_۳^۲).

ضرب سکالری خاصیت تبدیلی دارد، ⁦(ka) · b = k(a · b)⁩ است و نسبت به جمع توزیعی است. پس ⁦(a + b)² = a² + ۲a · b + b²⁩.