برهان خلف

قضیه را با برهان خلف می‌توان ثابت کرد. اول فرض می‌کنیم که حکم نادرست است («فرض کنیم چنین نیست»). از این فرض با استدلال به چیزی می‌رسیم که با یک اصل، یک قضیه یا فرض قضیه تناقض دارد («به تناقض رسیدیم»). این مبحث بیرون از کتاب‌های درسی افغانستان است و برای تکمیل آمده.

نتیجه: فرض ما نادرست بوده، پس قضیه درست است. قضیهٔ «دو خطی که بر خط سوم عمودند موازی‌اند» این‌گونه ثابت می‌شود. فرض کنیم a بر c عمود است و b هم بر c عمود است، اما a و b در نقطهٔ M همدیگر را قطع می‌کنند. آن‌گاه از M دو خط عمود بر c می‌گذرد. این با آن واقعیت تناقض دارد که از یک نقطه تنها یک خط بر خط معلوم عمود می‌شود.

به همین ترتیب: قضیهٔ «دو خط موازی با خط سوم با هم موازی‌اند» (تناقض با اصل توازی: از نقطه‌ای که بالای خط نیست تنها یک خط موازی با آن می‌گذرد) و قضیهٔ «شعاعی که به نقطهٔ تماس می‌رود بر مماس عمود است» (عمود OM از مایل OA بلندتر می‌شد).