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Identidades trigonométricas y demostración

Usa sen2θ + cos2θ = 1 y tgθ = senθcosθ para calcular una razón trigonométrica a partir de otra, encuentra la línea errónea de una «demostración» y aprende qué es demostrar una identidad.

📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».

Guía

Este tema pertenece a la Trigonometría: las razones trigonométricas de ángulos agudos se trabajan en 4.º de ESO; la fórmula fundamental sen2θ + cos2θ = 1 y la relación tgθ = senθcosθ se estudian en 4.º de ESO y en 1.º de Bachillerato. En la figura, una circunferencia de radio 3 cuadros representa el radio 1, y P está en (cosθ,senθ) = (0,6,0,8): el triángulo 3-4-5.

Una identidad es una igualdad que es cierta para todos los ángulos en los que están definidos los dos miembros. Las principales son sen2θ + cos2θ = 1 (el teorema de Pitágoras en el triángulo de hipotenusa 1) y tgθ = senθcosθ. Si se divide la primera entre cos2θ, se obtiene 1 + tg2θ = 1cos2θ.

Para demostrar una identidad se trabaja solo en uno de los miembros (normalmente el más complicado), con pasos que son siempre ciertos, hasta que quede igual que el otro. Comprobarla con un solo ángulo no es una demostración, y partir del resultado que se quiere obtener tampoco.