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Consecuencias del teorema del coseno

El tipo de un triángulo a partir del lado mayor (acutángulo, rectángulo u obtusángulo), la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo y un problema sobre los lados AB y BC.

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Guía

Este estudio trata el teorema del coseno de 4.º de ESO y de 1.º de Bachillerato (resolución de triángulos, Matemáticas I). Los lados de un triángulo son a, b, c y los ángulos opuestos son α, β, γ. El teorema del coseno: a2 = b2 + c2 − 2bccosα. De aquí sale 2bccosα = b2 + c2 − a2.

Una consecuencia del teorema del coseno. Sea a la longitud del lado mayor de un triángulo. Si a2 < b2 + c2, el triángulo es acutángulo. Si a2 > b2 + c2, es obtusángulo. Si a2 = b2 + c2, es rectángulo (el recíproco del teorema de Pitágoras). La razón es el signo del coseno del ángulo mayor: positivo, negativo o nulo.

Problema 1. La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos los lados: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, donde a y b son lados consecutivos. Se demuestra escribiendo el teorema del coseno para los triángulos ABD y ACD (ángulos α y 180° − α) y sumando.

Problema 2. El teorema del coseno puede dar una ecuación de segundo grado. Una solución que no cumple la condición (una longitud no puede ser negativa) se descarta. Las resoluciones se escriben con Datos, Se pide, Solución y Respuesta. Los triángulos están dibujados a escala: 1 cuadrícula del tablero es 1 cm.