Varianza, distribución geométrica y desigualdad de Chebyshev
Calcula una varianza a partir de una tabla de distribución, halla la varianza de una suma de variables independientes, calcula la probabilidad de «hasta el primer éxito» y acota una desviación con la desigualdad de Chebyshev.
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- Rusia: 10.º curso
Guía
La varianza y la desviación típica de una variable aleatoria, junto con la distribución binomial, se estudian en 1.º y 2.º de Bachillerato (Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales y Matemáticas II). La distribución geométrica y la desigualdad de Chebyshev no están en el currículo de ESO ni de Bachillerato: aquí se tratan como una ampliación.
La varianza mide cuánto se dispersan los valores alrededor de la esperanza: Var(X) = E(X²) − (E(X))². Para variables independientes, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), y un factor constante sale elevado al cuadrado: Var(aX) = a²Var(X). Para el número de éxitos en n pruebas, E(X) = np y Var(X) = npq. Si se repite la prueba hasta el primer éxito, P(X = k) = q^(k − 1) p. Chebyshev: P(|X − E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) : ε².
Errores frecuentes: olvidar restar el cuadrado de la media, no elevar al cuadrado el factor y multiplicar donde hay que sumar varianzas.