Potencias, raíces y circunferencias en el plano complejo
Usa e^{iθ} como punto de la circunferencia unidad, calcula potencias con la fórmula de De Moivre, halla las cuatro raíces de un número y dibuja una circunferencia con |z − c| = r.
📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».
- Portugal: 12.º curso
- Italia: 11.º curso
- Francia: 12.º curso
- Reino Unido: Year 12
- Rusia: 11.º curso
- Siria: 12.º curso
Guía
Este taller es una ampliación de los números complejos de Bachillerato (forma polar y fórmula de De Moivre). El número eiθ es el punto de la circunferencia unidad que forma un ángulo θ con el eje real: eiθ = cosθ + isenθ. Un número de módulo r y argumento θ se escribe reiθ. Media vuelta son π radianes, así que eiπ = −1.
Fórmula de De Moivre: para elevar un número a la potencia n, se eleva su módulo a n y se multiplica su argumento por n. Las n raíces de un número tienen todas el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en 360° : n, así que son los vértices de un polígono regular. Las raíces de zn = 1 se llaman raíces de la unidad y están en la circunferencia unidad.
La distancia de z a un punto fijo c es |z − c|. Por eso |z − c| = r es la circunferencia de centro c y radio r.