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Derivadas del seno, de la exponencial, del logaritmo y de las funciones inversas

Comprueba la derivada de sen x cerca de cero, dibuja la tangente a ex, usa ln x como imagen especular de ex para hallar su derivada y lleva la regla de la función inversa hasta la arctg.

📖 Empieza aquí: lee los pasos de la «Lección» por orden (1, 2, 3 …) y responde a cada pregunta. Después sigue con «Práctica».

Guía

Las derivadas del seno y del coseno, de la función exponencial y del logaritmo neperiano se estudian en 2.º de Bachillerato (Matemáticas II), una vez vista la derivada en 1.º. La derivada de la función inversa y la derivada de la arctg suelen verse como ampliación y como regla de derivación en 2.º de Bachillerato.

(sen x)′ = cos x y (cos x)′ = −sen x. Cerca de 0, la curva de sen x se pega a la recta y = x, así que la pendiente ahí es 1, que es cos 0.

(ex)′ = ex: en cada punto, la pendiente de la tangente es igual a la ordenada del punto. ln x es la función inversa de ex y (ln x)′ = 1x.

Si f(a) = b, la función inversa tiene derivada (f−1)′(b) = 1f′(a) en b. La curva de la inversa es la imagen especular de f respecto de la recta y = x, así que las pendientes se invierten.