Vektoren im Raum: Betrag, Abstand und Mittelpunkt
Ein Vektor im Raum ist die Raumdiagonale eines Quaders. Bestimme den Betrag eines Vektors, den Abstand zweier Punkte, einen Mittelpunkt, den Vektor zwischen zwei Punkten und den Endpunkt eines Vektors aus den Koordinaten.
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Hinweise für Erwachsene
Vektoren im Raum und ihre Koordinaten gehören im bayerischen Lehrplan zur Geometrie der 12. Jahrgangsstufe (Gymnasium). Im x₁x₂x₃-Koordinatensystem hat jeder Punkt drei Koordinaten und ein Vektor wird als Spaltenvektor mit drei Einträgen geschrieben, zum Beispiel (2 | 3 | 6).
Der Betrag eines Vektors ist die Länge der Raumdiagonale eines Quaders, dessen Kanten die Koordinaten sind: |a⃗| = √(a12 + a22 + a32). Der Abstand der Punkte A und B ist der Betrag von AB⃗ = B⃗ − A⃗ (Spitze minus Fuß). Jede Koordinate des Mittelpunkts ist der Mittelwert der Koordinaten mit gleichem Index. Den Endpunkt F von PF⃗ erhältst du aus F⃗ = P⃗ + PF⃗.
Typische Fehler: die Koordinaten zu addieren statt ihre Quadrate, die Wurzel zu vergessen und beim Subtrahieren die Reihenfolge zu vertauschen. Richtungskosinus kommen im bayerischen Lehrplan nicht vor.