Vektoren in der Ebene: Koordinaten, Betrag, Skalarprodukt
Bestimme die Koordinaten und den Betrag eines Vektors, das Skalarprodukt mit Koordinaten und mit dem Winkel, die Bedingung für orthogonale Vektoren und den Winkel zwischen zwei Vektoren.
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Hinweise für Erwachsene
Vektoren in der Ebene mit Koordinaten und das Skalarprodukt stehen im bayerischen Lehrplan der Jahrgangsstufe 10 (Gymnasium) beziehungsweise später in der Oberstufe. Ein Vektor wird als Spaltenvektor geschrieben: AB hat die Koordinaten x2 − x1 (oben) und y2 − y1 (unten), wobei A(x1 | y1) und B(x2 | y2) ist. Der Betrag eines Vektors a mit den Koordinaten a1 und a2 ist |a| = √(a12 + a22).
Der Winkel zwischen zwei Vektoren a und b (beide ungleich dem Nullvektor) ist der Winkel φ zwischen ihren Pfeilen, wenn man beide im selben Punkt O ansetzt. Er ist 0° bei gleicher Richtung und 180° bei entgegengesetzter Richtung. Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander (sie sind orthogonal), wenn der Winkel 90° beträgt.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist das Produkt ihrer Beträge und des Kosinus des eingeschlossenen Winkels: a ∘ b = |a| · |b| · cos φ. Mit Koordinaten gilt a ∘ b = a1b1 + a2b2. Zwei Vektoren sind genau dann orthogonal, wenn a ∘ b = 0 ist.
Den Kosinus des Winkels erhält man so: cosφ = a1b1 + a2b2√(a12 + a22)·√(b12 + b22). Der Winkel selbst kommt dann mit der Taste cos⁻¹ des Taschenrechners.