Einen Vektor mit zwei anderen Vektoren darstellen
Jeden Vektor der Ebene kannst du aus zwei Vektoren aufbauen, die nicht auf einer Geraden liegen: p = x · a + y · b. Zeichne die Teile im Gitter, bestimme die Koeffizienten, schreibe AM im Parallelogramm auf und berechne die Länge einer Projektion.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Russland: Klasse 9
Hinweise für Erwachsene
Die Darstellung eines Vektors als Linearkombination zweier Vektoren gehört im bayerischen Lehrplan zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeit in der 12. Jahrgangsstufe. Sind a und b nicht parallel (linear unabhängig), so lässt sich jeder Vektor p der Ebene auf genau eine Weise als p⃗ = x·a⃗ + y·b⃗ schreiben. Die Zahlen x und y heißen Koeffizienten. Wären a und b parallel, würdest du nur Vektoren in dieser einen Richtung erreichen.
Um x und y zu finden, vergleichst du die beiden Koordinaten und erhältst zwei Gleichungen (ein lineares Gleichungssystem). Im Parallelogramm gehst du stattdessen von der Ecke aus über zwei Seiten, zum Beispiel AM⃗ = AB⃗ + BM⃗. Typische Fehler: die halbe Seite als ganze Seite zu nehmen und das Vorzeichen eines Koeffizienten zu verlieren.
Die Länge der Projektion von a auf b ist (a⃗∘b⃗)/|b⃗|: das Skalarprodukt geteilt durch den Betrag von b. Das ist eine Vertiefung und gehört nicht zum Pflichtstoff.