Folgerungen aus dem Kosinussatz
Die Art eines Dreiecks an der längsten Seite erkennen (spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig), die Diagonalen im Parallelogramm und eine Aufgabe, in der eine quadratische Gleichung eine Lösung liefert, die nicht passt.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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- Syrien: Klasse 11
Hinweise für Erwachsene
Der Kosinussatz steht im bayerischen Lehrplan in der 9. Klasse (Gymnasium, Kapitel «Sinus- und Kosinussatz») und wird in der 10. Klasse angewendet. Die Seiten eines Dreiecks heißen a, b, c, die gegenüberliegenden Winkel α, β, γ. Der Kosinussatz lautet a2 = b2 + c2 − 2bccosα. Umgestellt ergibt er 2bccosα = b2 + c2 − a2. Der Satz des Pythagoras ist der Sonderfall für α = 90°.
Folgerung aus dem Kosinussatz. Sei a die längste Seite eines Dreiecks. Gilt a2 < b2 + c2, so ist das Dreieck spitzwinklig. Gilt a2 > b2 + c2, so ist es stumpfwinklig. Gilt a2 = b2 + c2, so ist es rechtwinklig. Der Grund ist das Vorzeichen des Kosinus im größten Winkel: positiv, negativ oder null.
Aufgabe 1. In jedem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der beiden Diagonalen gleich der Summe der Quadrate aller vier Seiten: BD2 + AC2 = 2a2 + 2b2, dabei sind a und b benachbarte Seiten. Man beweist das, indem man den Kosinussatz in den Dreiecken ABD und ACD aufschreibt (Winkel α und 180° − α) und die beiden Gleichungen addiert.
Aufgabe 2. Der Kosinussatz kann auf eine quadratische Gleichung führen. Eine Lösung, die nicht zur Aufgabe passt (eine Länge kann nicht negativ sein), scheidet aus. Schreibe die Lösung in der Form Gegeben, Gesucht, Lösung, Antwortsatz auf. Die Dreiecke sind maßstabsgetreu gezeichnet: 1 Kästchen entspricht 1 cm.