Ähnliche Figuren: Länge, Flächeninhalt und Volumen
Wird eine Figur mit dem Streckungsfaktor k vergrößert, werden die Längen k-mal, die Flächeninhalte k²-mal und die Volumina k³-mal so groß. Finde mit der Verhältnistabelle die unbekannte Größe.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 9
- Frankreich: Klasse 9
- Portugal: Klasse 8
- Italien: Klasse 7
- Spanien: Klasse 8
- Großbritannien: Year 10
- Russland: Klasse 8
- Iran: Klasse 9
- Afghanistan: Klasse 8
Hinweise für Erwachsene
In Bayern gehört das Verhältnis von Längen, Flächeninhalten und Volumina ähnlicher Figuren (k, k², k³) in die Jahrgangsstufe 9, zusammen mit der Ähnlichkeit, der zentrischen Streckung und den Strahlensätzen. Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine vergrößerte Kopie der anderen ist. Der Streckungsfaktor k sagt, wievielmal so lang jede Länge geworden ist.
Der Flächeninhalt ist ein Produkt aus zwei Längen, wird also k · k = k2-mal so groß. Das Volumen ist ein Produkt aus drei Längen, wird also k3-mal so groß.
Beispiel: Ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm wird mit k = 3 vergrößert. Die Seite wird 6 cm lang, der Flächeninhalt wächst von 4 cm² auf 36 cm² (4 · 9), und ein Würfel mit dieser Kantenlänge wächst von 8 cm³ auf 216 cm³ (8 · 27).
Man kann auch rückwärts rechnen: Ist das Verhältnis der Flächeninhalte 9 : 1, dann ist k2 = 9 und k = 3. Aus Flächeninhalten zieht man die Quadratwurzel, aus Volumina die dritte Wurzel.
In der Verhältnistabelle steht in jeder Zeile eine Größe der Figur. Fülle das leere Feld aus. Die Anwendung «Höhe eines Baumes aus dem Schatten» benutzt dieselben Verhältnisse: Gleichungen wie 2 : 3 = h : 12.