Varianz, geometrische Verteilung und die Ungleichung von Tschebyscheff
Berechne die Varianz aus einer Verteilungstabelle, bestimme die Varianz einer Summe unabhängiger Zufallsgrößen, berechne die Wahrscheinlichkeit für «bis zum ersten Treffer» und schätze eine Abweichung mit der Ungleichung von Tschebyscheff ab.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 11
- Portugal: Klasse 11
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- Russland: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsgröße gehören im bayerischen Lehrplan zur Stochastik der Oberstufe, im Zusammenhang mit der Binomialverteilung (μ = n · p, σ = √(n · p · (1 − p))). Die geometrische Verteilung, die Varianz einer Summe und die Ungleichung von Tschebyscheff kommen im bayerischen Lehrplan nicht vor; sie sind hier ein Zusatz für Kinder, die mehr wissen wollen.
Die Varianz misst, wie weit die Werte um den Erwartungswert streuen: Var(X) = E(X²) − (E(X))². Für unabhängige Zufallsgrößen gilt Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y), und ein konstanter Faktor kommt quadriert heraus: Var(a · X) = a² · Var(X). Für die Anzahl der Treffer bei n Versuchen gilt E(X) = n · p und Var(X) = n · p · q. Wiederholt man einen Versuch bis zum ersten Treffer, gilt P(X = k) = q^(k − 1) · p. Tschebyscheff: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X) : ε².
Typische Fehler: vergessen, das Quadrat des Erwartungswerts abzuziehen, den Faktor nicht zu quadrieren und zu multiplizieren, wo Varianzen addiert werden müssen.