Satz des Pythagoras und seine Umkehrung
Zeichne Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und vergleiche ihre Flächeninhalte, sieh mit vier Kopien des Dreiecks, warum der Satz stimmt, berechne eine fehlende Seite, prüfe mit der Umkehrung auf einen rechten Winkel und trage √2 mit dem Zirkel auf dem Zahlenstrahl ab.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 8
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- Spanien: Klasse 6
- Großbritannien: Year 9
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- Palästina: Klasse 6
Hinweise für Erwachsene
Der Satz des Pythagoras gehört in Bayern zur Jahrgangsstufe 9 (Gymnasium; in der Realschule mit Kathetensatz und Höhensatz). In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber dem rechten Winkel Hypotenuse; sie ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Zeichne über jeder Seite ein Quadrat: Der Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden anderen Quadrate. Mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt a2 + b2 = c2.
Achtung: Die Seitenlängen selbst addieren sich nicht. Die Hypotenuse ist kürzer als die beiden Katheten zusammen (3 + 4 ≠ 5), aber die Quadrate addieren sich: 9 + 16 = 25. Um die Hypotenuse zu berechnen, addierst du die Quadrate und ziehst dann die Quadratwurzel; um eine Kathete zu berechnen, ziehst du ihr Quadrat vom Quadrat der Hypotenuse ab.
Auch die Umkehrung gilt: Ist das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen, ist das Dreieck rechtwinklig, und der rechte Winkel liegt gegenüber der längsten Seite. So kannst du ohne Geodreieck auf einen rechten Winkel prüfen.
In den Bildern liegt der rechte Winkel in der Ecke A; die Hypotenuse ist also BC, und die Katheten sind AB und AC.