Ceva, Menelaos, Ptolemäus und die Eulersche Gerade
Zusatzgeschichten aus der Geometrie: wann sich drei Ecktransversalen in einem Punkt schneiden, wann drei Punkte auf einer Geraden liegen, das Produkt der Diagonalen eines Sehnenvierecks und die Eulersche Gerade.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Russland: Klasse 9
- Ukraine: Klasse 8
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommen die Sätze von Ceva, Menelaos und Ptolemäus und die Eulersche Gerade nicht vor; dies ist ein Zusatzstudio. Mit Streckenverhältnissen rechnen die Kinder in der Jahrgangsstufe 9 bei den Strahlensätzen. Die Strecken AA', BB', CC', die die Ecken des Dreiecks ABC mit Punkten A', B', C' auf den gegenüberliegenden Seiten verbinden, heißen Ecktransversalen (Cevians).
Satz von Ceva: Die Ecktransversalen AA', BB', CC' schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn (AC' : C'B)·(BA' : A'C)·(CB' : B'A) = 1 gilt. Satz des Menelaos: Drei Punkte A', B', C', zwei auf den Seiten und einer auf der Verlängerung einer Seite, liegen genau dann auf einer Geraden, wenn dieselbe Gleichung gilt.
Satz des Ptolemäus: In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalen gleich der Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten: AB·DC + BC·AD = BD·AC.
Die Eulersche Gerade: In jedem Dreieck liegen der Umkreismittelpunkt O, der Schwerpunkt M und der Höhenschnittpunkt H auf einer Geraden, und es gilt HM = 2·MO.