Quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen
Erkenne, warum x² + 4x + 13 = 0 keine reellen Lösungen hat, löse Gleichungen mit komplexen Lösungen, zeichne sie in die Zahlenebene und finde die fehlende Nullstelle einer Gleichung dritten Grades.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 12
- Portugal: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 11
- Afghanistan: Klasse 10
- Syrien: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor: Quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante haben dort einfach die Lösungsmenge L = { } (Klasse 9 und 10); komplexe Zahlen gehören nicht zum Schulstoff. Die Aufgaben zeigen, wie es weitergehen kann.
Eine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 hat nur dann reelle Lösungen, wenn die Diskriminante D = b2 − 4ac null oder positiv ist. Ist sie negativ, so ist die Wurzel aus einer negativen Zahl das i-Fache einer reellen Zahl, und die Lösungen sind komplex: √(−16) = 4i.
Die Lösungen sind x = −b±√(b2 − 4ac)2a. Bei negativer Diskriminante haben die beiden Lösungen denselben Realteil −b2a und entgegengesetzte Imaginärteile: Sie sind konjugiert komplex, also Spiegelbilder an der reellen Achse.
Dasselbe gilt für jedes Polynom mit reellen Koeffizienten: Komplexe Nullstellen treten paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf.