Potenzen, Wurzeln und Kreise in der Zahlenebene
Nutze e^(iφ) als Punkt auf dem Einheitskreis, potenziere mit dem Satz von Moivre, bestimme die vier Wurzeln einer Zahl als Quadrat und zeichne einen Kreis mit |z – c| = r.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Frankreich: Klasse 12
- Portugal: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 11
- Syrien: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommt dieses Thema nicht vor: Komplexe Zahlen, die eulersche Darstellung und der Satz von Moivre gehören nicht zum Schulstoff der Klassen 5 bis 12. Die Aufgaben sind eine Erweiterung für Neugierige.
Die Zahl eiφ ist der Punkt auf dem Einheitskreis beim Winkel φ: eiφ = cosφ + isinφ. Eine Zahl mit dem Betrag r und dem Argument φ ist reiφ. Eine halbe Drehung sind π im Bogenmaß, also gilt eiπ = −1.
Satz von Moivre: Um eine Zahl mit n zu potenzieren, potenzierst du ihren Betrag mit n und multiplizierst ihr Argument mit n. Die n Wurzeln einer Zahl haben alle denselben Betrag, ihre Argumente liegen 360° : n auseinander, sie sind also die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks. Die Lösungen von zn = 1 heißen Einheitswurzeln und liegen auf dem Einheitskreis.
Der Abstand von z zu einem festen Punkt c ist |z − c|. Also ist |z − c| = r ein Kreis mit dem Mittelpunkt c und dem Radius r.