Von der Stammfunktion zum bestimmten Integral
Finde Stammfunktionen und verstehe, warum +C nötig ist, berechne bestimmte Integrale mit F(b) − F(a), bestimme Mittelwerte und Flächeninhalte und lerne das Integral von 1x kennen.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
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Hinweise für Erwachsene
Das Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens. Eine Stammfunktion von f ist eine Funktion F mit F′(x) = f(x). Verschiebt man einen Graphen nach oben oder unten, bleibt die Steigung gleich. Deshalb gehört zu jeder Stammfunktion eine Konstante: ∫f(x)dx = F(x) + C (das unbestimmtes Integral).
Das bestimmtes Integral von a bis b berechnet man mit einer Stammfunktion F als F(b) − F(a): erst die obere Grenze einsetzen, dann die untere abziehen. Das Ergebnis ist die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse; Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ. Der Flächeninhalt zählt alle Stücke positiv, man muss also an den Nullstellen aufteilen.
Der Mittelwert von f auf [a; b] ist das bestimmte Integral geteilt durch b − a. Die Potenzregel ∫xndx = xn + 1/(n + 1) + C gilt für jedes n außer −1; dort gilt ∫1xdx = ln|x| + C. Summen werden gliedweise integriert, ein konstanter Faktor bleibt stehen.
In Bayern lernen die Schülerinnen und Schüler das Integral in der Jahrgangsstufe 12 (Q12) kennen. Lass dein Kind zuerst vermuten und danach rechnen; die Probe durch Ableiten kann man immer machen.