Flächen abschätzen: Ober- und Untersummen und Trapezregel
Schätze den Flächeninhalt unter y = x² mit schmalen Rechtecken und mit Trapezen ab und sieh, welcher Zahl sich die Schätzwerte nähern, wenn die Streifen schmaler werden.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Deutschland: Klasse 12
- Italien: Klasse 11
- Großbritannien: Year 12
- Russland: Klasse 11
- Ukraine: Klasse 11
- Iran: Klasse 12
- Afghanistan: Klasse 12
- Palästina: Klasse 12
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan wird das bestimmte Integral in Klasse 12 als Flächenbilanz eingeführt und mit Stammfunktionen berechnet; die Streifenmethode mit Ober- und Untersummen und die Trapezregel sind hier eine Vertiefung. Den Flächeninhalt unter einer Kurve kannst du nicht direkt berechnen, aber du kannst ihn in schmale Streifen zerlegen und jeden Streifen durch ein Rechteck ersetzen: Flächeninhalt = Breite · Höhe. Die Höhe liest du am linken Rand des Streifens ab (Linkssumme) oder am rechten Rand (Rechtssumme).
Bei einer steigenden Funktion ist die Linkssumme kleiner und die Rechtssumme größer als der wahre Flächeninhalt; man spricht dann von Untersumme und Obersumme. Ersetzt du jeden Streifen durch ein Trapez, so hat es den Flächeninhalt a + b2·h, wobei a und b die beiden Seitenhöhen und h die Breite des Streifens sind.
Je schmaler die Streifen, desto näher kommen die Schätzwerte einer einzigen Zahl. Dieser Grenzwert ist das bestimmtes Integral; Summen wie diese nennt man Riemann-Summen.