Wurzelungleichungen und äquivalente Systeme
Löse Ungleichungen mit einer Quadratwurzel, indem du sie in ein äquivalentes System umformst und dabei die Definitionsmenge und das Vorzeichen der rechten Seite beachtest.
📖 Hier beginnen: Lies die Schritte der „Lektion“ der Reihe nach (1, 2, 3 …) und beantworte jede Frage. Danach geht es mit „Üben“ weiter.
- Italien: Klasse 10
- Russland: Klasse 10
Hinweise für Erwachsene
Im bayerischen Lehrplan kommen Wurzelungleichungen nicht vor. Wurzelgleichungen mit Probe gehören zu den Wurzeln in Klasse 9 und 10 (Gymnasium). Hier ist der Umgang mit Wurzeln in Ungleichungen ein Zusatz: Man ersetzt die Ungleichung durch ein äquivalentes System oder durch mehrere Systeme.
Die Ungleichung √f < g ist äquivalent zu einem System aus drei Bedingungen: f ≥ 0 (Definitionsmenge), g > 0 und f < g2. Die Ungleichung √f > g zerfällt in zwei Systeme: entweder g < 0 und f ≥ 0, oder g ≥ 0 und f > g2. Die Lösungsmengen werden vereinigt.
Steht rechts eine Zahl, ist es einfacher: √f < 2 ist äquivalent zu 0 ≤ f < 4. Steht rechts eine negative Zahl, dann ist √f > −3 überall wahr, wo die Wurzel definiert ist.
Das Quadrieren ist nur eine Folgerung: Es können Scheinlösungen entstehen, also braucht man die Probe. Eine Äquivalenzumformung braucht keine Probe, aber du musst die Definitionsmenge und das Vorzeichen der rechten Seite beachten.
Zeichne die Lösung auf die Zahlengerade. Wenn eine Vereinigung nötig ist, kannst du zwei Stücke zeichnen.