الأشعة في المستوي: المركّبات والطويلة والجداء السلمي

مركّبتا الشعاع في المستوي تُدرَسان في الصف العاشر (الهندسة، الأشعة في المستوي)، والجداء السلمي في الصف الحادي عشر العلمي (الجزء الثاني، الوحدة ٣: الجداء السلّمي). يُعطى الشعاع بمركّبتيه: إذا كانت ⁦A (x_١,y_١)⁩ و ⁦B (x_٢,y_٢)⁩ فإنّ AB هو (x_٢ − x_١,y_٢ − y_١). وطويلة ⁦a (a_١,a_٢)⁩ هي |a| = √(a_١^٢ + a_٢^٢).

الزاوية بين شعاعين غير معدومين a وb هي الزاوية AOB حيث ⁦OA = a⁩ و⁦OB = b⁩. نكتبها ⁦∠(a, b)⁩؛ وهي ⁦٠°⁩ للشعاعين في الاتجاه نفسه و⁦١٨٠°⁩ للشعاعين المتعاكسين. وعندما تكون الزاوية ⁦٩٠°⁩ يتعامد الشعاعان: ⁦a ⊥ b⁩.

الجداء السلمي لشعاعين غير معدومين يساوي جداء طويلتيهما في جيب تمام الزاوية بينهما: ⁦a · b = |a| |b| cos ∠(a, b)⁩. وبالمركّبات: ⁦a · b = a_١b_١ + a_٢b_٢⁩. ويتعامد الشعاعان إذا وفقط إذا كان جداؤهما السلمي صفرًا.

تجيب الزاوية بين شعاعين غير معدومين: cos∠(a,b) = a_١b_١ + a_٢b_٢√(a_١^٢ + a_٢^٢)·√(b_١^٢ + b_٢^٢).