الجداء السلمي للأشعة: الطويلة والزاوية والمركّبات

تتفق هذه الورشة مع درس «الجداء السلمي في الفراغ» في كتاب الصف الثالث الثانوي العلمي (الجزء الثاني، الوحدة ٢). الزاوية بين شعاعين غير معدومين a وb هي الزاوية AOB حيث ⁦OA = a⁩ و⁦OB = b⁩. نرمز إليها ⁦∠(a, b)⁩ و٠° ≤ ∠(a,b) ≤ ١٨٠°. إذا كانت ⁦٩٠°⁩ فالشعاعان متعامدان.

الجداء السلمي لشعاعين يساوي جداء طويلتيهما في تجيب الزاوية بينهما: ⁦a · b = |a| |b| cos ∠(a, b)⁩. ونكتب الجداء السلمي ⁦a · a⁩ على الشكل a² فيكون ⁦a² = |a|²⁩. ويتعامد شعاعان غير معدومين عندما يكون ⁦a · b = ٠⁩.

للشعاع a الذي مركّباته (a_١,a_٢,a_٣) والشعاع b الذي مركّباته (b_١,b_٢,b_٣) لدينا a·b = a_١b_١ + a_٢b_٢ + a_٣b_٣. إذن cos∠(a,b) = a_١b_١ + a_٢b_٢ + a_٣b_٣√(a_١^٢ + a_٢^٢ + a_٣^٢)·√(b_١^٢ + b_٢^٢ + b_٣^٢).

الجداء السلمي تبديلي، و⁦(ka) · b = k(a · b)⁩ وهو توزيعي على الجمع. إذن ⁦(a + b)² = a² + ٢a · b + b²⁩.