تابع التكامل والمبرهنة الأساسية

هذه الورشة إضافية وليست في الكتب السورية. هي امتداد لدرس «التكامل والتوابع الأصلية» في الصف الثاني عشر العلمي.

تابع التكامل J_a(x) = ∫f(t)dt (التكامل من a إلى x) يعطي مجموع المساحات الجبرية بين a وx. المساحة فوق محور الفواصل موجبة، وتحته سالبة. أما المساحة الهندسية فموجبة دائمًا.

المبرهنة الأساسية: J_a′(x) = f(x). حيث يكون f موجبًا يتزايد J، وحيث يكون f سالبًا يتناقص J. إذا تغيرت إشارة f من + إلى − فلـ J قيمة عظمى هناك. وإذا كان لـ f قيمة حدية فلـ J نقطة انعطاف.

إذا كان F تابعًا أصليًا فإن J_a(x) = F(x) − F(a). وفي المسائل الكلامية، إذا كان f معدل دخول الماء فإن J هو تغيّر كمية الماء؛ أضف الكمية الابتدائية على حدة.