المساحة والحجم وطول القوس بالتكامل

حساب المساحة بالتكامل المحدَّد يوافق الصف الثالث الثانوي العلمي (الجزء الأول، الوحدة ٧: «التكامل المحدّد وحساب المساحة»)؛ أما حجم الأجسام الدورانية وطول القوس والمساحة القطبية فليست في الكتب السورية، لكنها مفيدة. مساحة المنطقة تحت المنحني y = f(x) من a إلى b تساوي التكامل المحدَّد ∫f(x)dx بين a وb: احسب التابع الأصلي عند b وعند a واطرح. وبين منحنيين خذ دائمًا تكامل «العلوي ناقص السفلي».

إذا دوّرنا المنطقة حول المحور x فحجمها V = π∫(f(x))^٢dx: ربّع التابع ولا تنسَ π. وطول القوس L = ∫√(١ + (f′(x))^٢)dx.

في الإحداثيات القطبية، مساحة المنطقة التي يمسحها نصف القطر r هي A = ١٢∫r^٢dθ. لا تنسَ العامل النصف ولا تربيع r.